LA CARA OCULTA DE LAS ESFERAS
Autor: LUIS MONTEJANO PEIMBERT
COMITÉ DE SELECCIÓN
EDICIONES
INTRODUCCIÓN
I. SOMBRAS Y TAJADAS
II. CONVEXIDAD
III. EL CÍRCULO
IV. EL "LIBRO ESCOCÉS"
V. EQUILIBRIO EN CUALQUIER POSICIÓN
VI. FIGURAS DE ANCHO CONSTANTE
VII. SÓLIDOS DE ANCHO CONSTANTE
VIII. LA CONJETURA DE MIZEL
BIBLIOGRAFÍA
CONTRAPORTADA
EDICIONES
Primera edición (La ciencia desde México), 1989
Tercera reimpresión, 1995
Segunda edición (La Ciencia para Todos), 1997
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—incluido el diseńo tipográfico y de portada—, sea cual fuere el medio, electrónico o mecánico, sin el consentimiento por escrito del editor. **
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La Ciencia para Todos es proyecto y propiedad del Fondo de Cultura Económica, al que pertenecen también sus derechos. Se publica con los auspicios de la Secretaría de Educación Pública y del Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología.
D.R. Š 1989 FONDO DE CULTURA ECONÓMICA, S.A. DE C. V.
D.R. Š 1997 FONDO DE CULTURA ECONÓMICA
Carretera Picacho-Ajusco 227, 142OO México, D.F.
ISBN 968-16- 5231-2
Impreso en México
INTRODUCCIÓN
Escribir un libro de matemáticas para un público amplio es, sin lugar a dudas, una aventura de la cual es difícil salir bien librado o al menos satisfecho. "Pero le sé decir, desocupado lector que, aunque me costó algún trabajo, ninguno tuve por mayor que hacer esta introducción que va leyendo. La razón es que quisiera que este libro, como hijo del entendimiento, fuera el más hermoso, el más gallardo y más discreto que pudiera imaginarse. Pero no he podido yo contravenir a la orden de naturaleza, que en ella cada cosa engendra su semejante."
Me he atrevido a presentar este libro —y de paso a mal citar a Cervantes— con el vano afán de destruir varios mitos, porque estoy convencido de que la imagen que de las matemáticas y los matemáticos tiene la mayoría de la gente es parecida a aquella que de la música tiene quien sólo ha escuchado un metrónomo y nunca una sonata lo que tradicionalmente se enseńa sobre matemáticas está lejos de su verdadera esencia y creo que la aversión hacia ellas desaparecería si tan sólo intentáramos presentarlas como lo que son: una bella y terrible pasión.
—Matemático es aquel individuo para el cual los centros de la creatividad y la lujuria se encuentran alejados en la corteza cerebral muy cerca uno del otro— —me dijo un día mi maestro y concluyó—: recuerde usted las palabras de Newton: "No podía dormir sin dejar de pensar en ella."
—żEn quién? —pregunté.
— En la gravedad, por supuesto —contestó.
Yo, como muy frecuentemente sucede cuando él toca alguna fibra sensible, sonreí... y me quedé pensando. Recordé entonces aquella noche en la que por primera vez sońé, en un jardín de azucenas, con aquella bellísima mujer vestida de blanco... Decíase llamar Convexidad. Recuerdo que al final del sueńo me reprochó no haberle sido lo suficientemente fiel. Y era cierto. Mi primer trabajo original, mi primera pasión intelectual, fue la solución al problema del equilibrio de los cuerpos, usando ideas de convexidad. No sé por qué (no me lo explico aún) pero, después de resolver el problema, por mucho tiempo no volví a pensar en ella, excepto ocasionalmente. Me dediqué a otras áreas: la combinatoria primero, la topología después. Aún la sigo sońando... Con este libro espero saldar mi deuda con ella.
Platico todo esto porque sé que mucha gente piensa que las matemáticas son feas, áridas, rígidas y frías. Yo sé que son bellas, cálidas, a veces terribles, sí, pero siempre apasionantes y entretenidas. Mucho se ha dicho acerca de que la belleza de las matemáticas es sólo para iniciados, sólo accesible para aquellos que entienden su lenguaje, y que está vedada para los demás. Yo he cometido la osadía de intentar conducirlo a usted, a través de este libro, por el jardín en donde sé que suele pasear.
La idea central alrededor de la cual gira esta obra es, como su nombre lo indica, la cara oculta de los círculos y las esferas. Son aquellas misteriosas y ocultas propiedades de círculos y esferas las que quiero tratar, no con el propósito de hacerlos parecer más lejanos, sino como un reconocimiento a la inesperada riqueza geométrica que se encuentra escondida en su interior. żQué es lo que los hace ser lo que son?, żQué parecen ser y no son exclusivamente?
Este libro comienza realmente en el capítulo IV, con un relato sobre la Escuela Polaca de Matemáticas y el "Libro escocés." Sin embargo, he querido dedicar el capítulo I a las sombras y las tajadas de los sólidos, no debido a que este material tenga una importancia especial, sino porque me permite establecer uno de los objetivos del libro: mostrar que las matemáticas son fundamentalmente una vivencia y que por lo tanto es posible hacerlas sobre hechos y objetos cotidianos. Además, todo esto me ha servido para implantar, desde un principio, un tono y una cadencia que prevalecerá durante el transcurso de la obra. El capítulo II es una introducción a la teoría de la convexidad, sin la cual el tratamiento de los capítulos posteriores sería imposible. El capítulo III es en sí mismo un tema aparte y trata una caracterización del círculo que usaremos de manera crucial en los capítulos V y VI, su lectura completa no es esencial y puede usted omitirlo si así lo desea; sin embargo, le recomiendo recordar el resultado principal de ese capítulo para cuando sea usado más adelante. La parte original del libro se encuentra en el capítulo V con la solución al problema del equilibrio de los cuerpos y en el capítulo VI, con la forma en que han sido presentadas las figuras de ancho constante, muy particularmente en el tratamiento de sus binormales. El libro finaliza con la solución de L. Danzer a una bella conjetura.
Leer un libro de matemáticas es fundamentalmente un acto de recreación y en poco se parece, digamos, a la lectura de un bestseller: No intente usted tomar este libro y leerlo de corrido, su lectura requiere de otro procedimiento que se parece más, por ejemplo, a la lectura de un libro de recetas de cocina. Lo que yo quiero decir es que en ambos casos uno tiene que reproducir concretamente y a cada momento lo que el autor seńala. Por ejemplo, en la demostración correspondiente a la figura II.9, en el capítulo II de este libro, se dice: "Para ver esto dibujemos primero dos líneas en la dirección dada, que tengan a la figura entre ambas. Luego deslicémoslas hasta que toquen a la figura".
Leer este libro significa tener los ingredientes: papel y lápiz: luego dibujar con ellos, primero una figura y a continuación dos líneas paralelas a ambos lados de la figura; posteriormente deslizarlas, es decir, dibujar varias de ellas hasta dibujar dos que toquen a la figura. Con la práctica, lector, usted sabrá cuándo es necesario dibujar y cuándo basta imaginarlo. Lo importante es, pues, no sólo leer el texto sino, de alguna manera, recrearlo y reproducirlo para usted mismo.
Este libro tomó forma en un curso que sobre convexidad impartí en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México; tengo una deuda perenne con los estudiantes y mi ayudante, sin cuyo entusiasmo jamás se hubiese concretado este libro. A ellos pertenece parte de esta obra y creo justo mencionar sus nombres: Daniel Cervantes Peredo, Claudia Gómez Wulschner, Daniel Juan Pineda, Atocha Aliseda, Rafael Morales Gamboa, Sairy Karp y Andrés Silverman. Quiero también agradecer a Víctor Neumann Lara el haberme introducido en el bellísimo mundo de la convexidad, a Isabel Puga la síntesis que dio origen al nombre de este libro y a todas aquellas personas que están cerca de mí por darme la suficiente libertad para vivir y crear.
LUIS MONTEJANO PEIMBERT
México, D.F., mayo de 1988
CONTRAPORTADA
Dentro de los objetos geométricos que a todos nos llaman poderosamente la atención están las esferas y los círculos. Desde los griegos su perfección hizo que fuesen parte esencial de toda visión cosmológica; concepción con la que rompió el Renacimiento, pero no por esto nuestra fascinación por ellos disminuyó. Para convencernos de ello basta la cara de nuestro pequeńo hijo observando una pompa de jabón.
Podríamos suponer que acerca de dichos personajes todo lo conocemos. Nada más lejano de la realidad; la presente obra nos muestra nuevas facetas de ellos que los vuelven aún más cautivadores y nos prueban que siguen vivos. Los resultados de los que el autor nos habla están enmarcados dentro de la teoría de los cuerpos convexos; teoría que tuvo un fuerte impulso en la primera mitad de nuestro siglo y sigue cultivándose actualmente con una gran diversidad de problemas.
En este libro, el lector se sorprenderá de la naturalidad con la que los resultados aparecen y se eslabonan; sin embargo hay que aclarar que esto es producto del trabajo del autor y su manera de ver el quehacer matemático.
Para él, las matemáticas son algo de lo que todos podemos disfrutar, de la misma manera que los matemáticos lo hacen cuando se plantean, piensan y discuten entre ellos los problemas. Un ejemplo de lo anterior es el relato acerca del "Café Escocés", que tanto tuvo que ver con el desarrollo de la escuela polaca de matemáticas.
En cualquier otro idioma difícilmente el lector encontrará un libro que como éste le haga sentir qué es la matemática.
Luis Montejano es investigador del Instituto de Matemáticas de la UNAM y profesor de la Facultad de Ciencias de la misma casa de estudios, donde cursó la licenciatura. Su doctorado lo obtuvo en la Universidad de Utah (EUA) con un trabajo sobre topología, área que sigue siendo su principal interés.
Diseño: Carlos Haces / Fotografía: Carlos Franco
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I. SOMBRAS Y TAJADAS
PIENSE usted en un sólido; una papa suspendida en el espacio es, por ejemplo, una buena imagen. Suponga que por alguna razón usted tiene información acerca de esta papa sólo a través de sus secciones transversales. Es decir, usted sólo conoce la forma que tienen las tajadas de esta papa. Suponga ahora que quizá usted conoce, de este sólido, la forma que tienen las figuras que se obtienen al proyectarlo; es decir, imagínese que de él usted sólo ha visto las sombras que deja sobre el piso. żPodría usted decirme, a partir de esta información, qué forma tiene este sólido?
La situación es mucho menos rara de lo que uno se imagina. Sólo para mencionar dos ejemplos sumamente sencillos piense usted que, con frecuencia, cuando se usa el microscopio, lo que uno ve no es el objeto a observar, sino sólo una tajada que de él se obtuvo al hacer la preparación; o que la información que nos llega de la forma de un cuerpo celeste, a través de un telescopio, sólo tiene que ver con las proyecciones de este cuerpo.
En este primer capítulo vamos a proponernos resolver quizás el aspecto más teórico y sencillo de este problema. Quisiéramos estudiar sólidos que tienen siempre tajadas o sombras circulares y concluir, por supuesto, que estos sólidos tienen la forma esférica. A través de este libro vamos a vernos con frecuencia en la necesidad de concluir que determinado sólido es una esfera, pues sus sombras o sus tajadas son circulares.
Debemos de estar seguros de que lo que ambos —usted, lector, y yo— entendemos por sección transversal o tajada es lo mismo. Volviendo a nuestra imagen de una papa suspendida en el espacio, imaginemos que un plano la corta (Figura I.1). Una tajada de esta papa o mejor dicho, una sección transversal de este sólido, no es sino la parte de esta papa o de este sólido que queda sobre el plano.
Figura I-1
Antes de continuar quisiera aclarar otro concepto. A diferencia de otros autores, entendemos por un círculo o una esfera no sólo el borde de éstos, sino también todo lo que se encuentra dentro de ellos. Así, por ejemplo, el centro del círculo forma parte del círculo.
Vamos a empezar pensando en secciones transversales o tajadas.
Si toda sección transversal de un sólido Q es un círculo, entonces Q es una esfera.
Es decir: si en una papa toda tajada es circular, es porque la papa es una papa esférica.
Demostración. La esfera más pequeńa que contiene al sólido Q es llamada la circumesfera de Q. Su cáscara debe tocar al sólido Q, puesto que si no lo toca ésta no sería la esfera más pequeńa que contiene a Q (véase Figura I.2).
Figura I.2
De hecho, la cáscara de la circumesfera debe tocar al sólido Q en al menos dos puntos; de lo contrario, si solamente lo toca en un punto, despegándola sería posible encontrar una esfera más pequeńa que contenga a Q (Figura I.3).
Fijemos nuestra atención en dos puntos de la cáscara de la circumesfera de Q que se encuentren también en Q. Pongámosles nombre; llamémosles por ejemplo X y Y. A continuación haremos ver que cualquier otro punto de la cáscara de la circumesfera pertenece también a Q, mostrando así que Q y su circumesfera coinciden.
Figura I.3.
Manos a la obra: fijémonos en cualquier punto de la cáscara de la circumesfera de Q (escoja uno, el que usted quiera). Pongámosle por nombre Z (ver figura I.4). En este momento conviene pensar que la circumesfera es azul y el sólido Q es rojo (recuerde que para ayudarnos a pensar se vale hacer uso de cualquier truco, artimańa o manía, lo importante es pensar).
Figura I.4
Pensemos ahora en el plano L que pasa por X, por Y y por Z. Este plano corta a la circumesfera en un círculo azul (toda tajada de una esfera es un círculo) que contiene a X, a Yy a Z en su orilla. A su vez, este plano corta al sólido Q en un círculo rojo que contiene a X y a Y en su orilla y que se encuentra dentro del círculo azul, pues el sólido e está dentro de la circumesfera.
Figura I.5
A continuación, trate de dibujar un círculo rojo dentro de un círculo azul de tal forma que ambos compartan al menos dos puntos, X y Y, de su orilla (ver figura 1.5). Le será fácil convencerse de que la única posibilidad es que ambos círculos, el rojo y el azul, coincidan. Esto quiere decir que la tajada de Q y la tajada de la circumesfera, determinadas ambas por el plano L, coinciden y, por lo tanto, que el punto Z de la cáscara de la circumesfera, en el cual habíamos fijado nuestra atención (ese que usted escogió arbitrariamente), es parte del sólido Q. Ahora podemos fijar nuestra atención en cualquier otro punto de la cáscara de la circumesfera de Q y repetir el mismo proceso anterior para convencernos de que este punto, y por lo tanto cualquier otro de la cáscara de la circumesfera, es parte del sólido Q. Hemos pues demostrado que el sólido Q y su circumesfera coinciden, es decir, que el sólido es esférico.
Pongámonos de acuerdo en lo que significa la proyección o sombra de un sólido. La idea intuitiva se refiere a la sombra que deja un sólido sobre el piso, producida por los rayos del sol.
Tomemos una dirección d y un plano P perpendicular a esta dirección. Nos vamos a fijar en todas las posibles líneas paralelas a la dirección d que cortan al sólido (véase figura 1.6). Todas estas líneas van a cortar también a el plano P para formar en él una figura, que es la figura a la que llamaremos la proyección o sombra del sólido en la dirección d sobre el plano P.
Figura I.6
Si toda proyección de un sólido Q es un círculo, entonces Q es una esfera.
Es decir: si todas las sombras de una papa son circulares, es porque la papa es una papa esférica.
Demostración. Tomemos un sólido Q con la propiedad de que todas sus sombras o proyecciones son circulares. Pudiera ser żpor qué no? que en diferentes direcciones las sombras tuvieran diferentes diámetros, es decir, que algunas sombras fueran más pequeńas que otras. Empezaremos convenciéndonos de que no es así, de que en todas las direcciones las sombras son círculos del mismo tamańo.
Escoja usted dos planos. En ellos vamos a proyectar el sólido Q y a verificar si ambas sombras tienen el mismo diámetro. Sean pues P y G los planos elegidos y sean P(Q ) y G(Q) los círculos que se obtienen al proyectar Q sobre P y G respectivamente (véase figura I.7).
Figura I.7
El cilindro generado por la sombra que deja Q al ser proyectado sobre el plano G es un tubo que perfora perpendicularmente a G precisamente en el círculo G(Q ). Este tubo se proyecta sobre P dejando como sombra una banda que aprisiona perfectamente al círculo P(Q). Por lo tanto, el diámetro de P(Q) es el ancho de la banda que, por ser la banda sombra del tubo, es el diámetro del tubo que a su vez no es otro sino el diámetro de P (Q).
Nos hemos convencido ya de que todas las sombras del sólido Q son círculos del mismo diámetro. Ahora vamos a convencernos de que, efectivamente, el sólido Q es una esfera. Con tal propósito vamos a pensar de nuevo en la circumesfera de Q, es decir, en la esfera más pequeńa que contiene a Q. Conviene imaginar de nuevo que la circumesfera es azul, que el sólido Q es rojo y que, en cualquier dirección que se tome, la sombra que proyecta el sólido Q y su circumesfera es un círculo rojo dentro de un círculo azul. Recordemos que todas las sombras de Q son círculos rojos del mismo diámetro que se encuentran contenidos en las sombras de la circumesfera, las cuales son círculos azules todos del mismo diámetro. Por tanto, si en alguna dirección nosotros fuéramos capaces de comprobar que el círculo rojo y el azul coinciden, entonces, en cualquier otra dirección, la sombra del sólido y la sombra de su circumesfera coincidirán.
Nuestro propósito inmediato es ahora verificar que, efectivamente, la aseveración anterior es cierta, es decir, que las sombras de Q y de su circumesfera coinciden. Lo haremos encontrando simplemente, una dirección en la que las sombras proyectadas por el sólido Q y su circumesfera coincidan.
Sean X y Y dos puntos de la cáscara de la circumesfera que sean parte del sólido Q. Pensemos en el plano L determinado por los puntos X y Y y el centro de la circumesfera. Si proyectamos sobre un plano paralelo al plano L, lo que obtenemos es un círculo rojo dentro de un círculo azul en donde las proyecciones de los puntos X y Y se encuentran en la orilla del círculo azul. Por ser X y Y parte del sólido Q, los círculos rojo y azul comparten dos puntos de su orilla. Como ya lo habíamos constatado anteriormente, esto no es posible a menos que ambos círculos coincidan totalmente.
Hasta ahora todo lo que sabemos es que en cualquier dirección el sólido Q y su circumesfera proyectan la misma sombra. żSerá esto suficiente para asegurar que Q es una esfera? Si lo es, como lo veremos a continuación.
Tome usted un punto de la cáscara de la circumesfera. żCuál? Cualquiera, el que usted elija arbitrariamente. Llamémoslo Z. Lo que quisiéramos es convencemos de que Z es parte de Q. Para esto vamos a proyectar la circumesfera sobre un plano paralelo a un plano que pase por Z y el centro de la circumesfera. Al proyectar, la sombra de Z (llamémosla Z') está en la orilla de la sombra de la circumesfera. Más aún, de todos los puntos de la circumesfera, el único que se proyecta sobre Z' es Z, de manera que si Z no fuera parte del sólido Q, entonces Z' no sería parte de la sombra de Q, lo cual no es posible pues sabemos que las sombras de Q y su circumesfera coinciden. Por lo tanto, forzosamente, Z debe formar parte de Q (véase figura I.8 ). Como Z fue escogido arbitrariamente, lo mismo pudimos haber concluido de cualquier otro punto de la cáscara de la circumesfera. Es decir, toda la cáscara de la circumesfera de Q forma parte de Q, lo cual nos indica que Q es una esfera.
Hemos terminado el primer capítulo de este libro. El siguiente capítulo es una introducción a la teoría geométrica de la convexidad, sin la cual mucho del material tratado en esta obra sería difícil de exponer. Por tanto, aunque el material presentado a continuación aparentemente no se relaciona con lo que hasta aquí hemos visto, nos será de mucha utilidad en los capítulos subsecuentes. Por otro lado, la teoría geométrica de la convexidad, por su sencillez y profundidad, es en sí misma de gran belleza y calidez. No dudo que su lectura le será muy estimulante y entretenida.
Figura I.8
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