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Ecuación. Una Introducción


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#1 Ge. Pe.

Ge. Pe.

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Publicado el 29 agosto 2007 - 10:36

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ECUACIÓN



1. Introducción


Ecuación, igualdad en la que intervienen una o más letras, llamadas incógnitas.
Es decir, es una igualdad entre expresiones algebraicas.


Las expresiones que están a ambos lados del signo igual son los miembros de la ecuación: primer miembro el de la izquierda, segundo miembro el de la derecha.

Se llama solución de una ecuación a un valor de la incógnita, o a un conjunto de valores de las incógnitas, para los cuales se verifica la igualdad. Una ecuación puede tener una, ninguna o varias soluciones. Por ejemplo:

3x – 7 = x + 1 es una ecuación con una incógnita. Tiene una única solución: x = 4.

x2 + y2 + 5 = 0 es una ecuación con dos incógnitas sin solución, pues la suma de dos cuadrados es un número positivo a partir del cual no se puede obtener 0 sumándole 5.

2x + 3y = 15 es una ecuación con dos incógnitas que tiene infinitas soluciones, algunas de las cuales son x = 0, y = 5; x = 3, y = 3; x = 30, y = -15.

Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen las mismas soluciones o ambas carecen de solución. Así, la ecuación 3x – 7 = x + 1 es equivalente a 2x – 8 = 0 porque ambas tienen como solución única x = 4.2.


Tipos de ecuaciones


Las ecuaciones con una incógnita suelen tener un número finito de soluciones. Las ecuaciones con varias incógnitas, sin embargo, suelen tener infinitas soluciones; por ello, estas ecuaciones interesa estudiarlas cuando forman sistemas de ecuaciones. Las ecuaciones con una incógnita pueden ser de distintos tipos: polinómicas, racionales, exponenciales, trigonométricas…

Las ecuaciones polinómicas son de la forma P(x) = 0, donde P(x) es un polinomio en x. O bien, son de tal forma que al trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión. 3x3 - 5x2 + 3x + 2 = 0 es una ecuación polinómica.

Las ecuaciones polinómicas de primer grado, ax + b = 0, se llaman ecuaciones lineales. 5x + 7 = 3 es lineal y también lo es (x - 5)2 + 3 = x2 - 1 porque al desarrollar y simplificar se obtiene -10x + 29 = 0.

Las ecuaciones polinómicas de segundo grado, ax2 + bx + c = 0, se llaman cuadráticas. Son ecuaciones de este tipo: x2 - 5x + 3 = 0, (x – 2)2 + 7x =5 + x.

Las ecuaciones radicales son aquellas en las que la incógnita está bajo un signo radical, como

IPB Image

Las ecuaciones racionales son ecuaciones en las que aparecen cocientes de polinomios; por ejemplo:

IPB Image

En las ecuaciones exponenciales la incógnita está en un exponente:

2x + 4x + 1 - 18 = 0


En las ecuaciones trigonométricas la incógnita está afectada por alguna función trigonométrica;

por ejemplo:

sen (p/4 + x) – cos x = 1


3. Resolución de ecuaciones


Resolver una ecuación es hallar su solución o soluciones, o bien concluir que no tiene solución. Para resolver una ecuación, se pasa a otra equivalente cuya fisonomía sea más sencilla. Así, mediante una serie de pasos sucesivos se llega a una última ecuación del tipo x = s en la que la incógnita está despejada (es decir, aislada en el primer miembro), con lo que la solución es evidente.

Por ejemplo, para resolver la ecuación 5x – 6 = 3x + 12 se procede como se explica a continuación.

Para pasar los términos en x al primer miembro y los números al segundo miembro, se resta en ambos miembros 3x y se suma 6, con lo que queda:

5x – 3x = 12 + 6

Y simplificando, 2x = 18.

Para despejar la x se divide por 2 en ambos miembros:

x = 18/2 = 9

La solución es, evidentemente, x = 9.

Sin embargo, hay tipos de ecuaciones para cuya resolución se requieren técnicas especiales. Es el caso, por ejemplo, de las ecuaciones cuadráticas y bicuadradas.


1. Resolución de ecuaciones cuadráticas


La expresión general de una ecuación cuadrática (polinomio de segundo grado) es:

ax2 + bx + c = 0

con a ≠ 0. Para resolverla se aplica la fórmula:

IPB Image

Por ejemplo, la ecuación 2x2 + 5x – 3 = 0 de coeficientes a = 2, b = 5, c = -3, se resuelve así=

IPB Image

Hay dos soluciones: x1 = 1/2; x2 = -3.

Esta misma ecuación se podría haber resuelto despejando la x.

Para ello, se multiplica la ecuación por 2:

4x2 + 10x – 6 = 0

Se pasa el 6 al segundo miembro:

4x2 + 10x = 6

Se suman 25/4 para completar un cuadrado perfecto (el cuadrado de una suma) en el primer miembro:

4x2 + 10x + 25/4 = 6 + 25/4

Simplificando:

(2x + 5/2)2 = 49/4

Extrayendo la raíz cuadrada y recordando que si A2 = B2 entonces A = ±B:

2x + 5/2 = ±7/2

Como consecuencia del signo ±, la igualdad da lugar a dos ecuaciones:

2x + 5/2 = 7/2

2x + 5/2 = -7/2

Resolviéndolas se obtiene:

4x + 5 = 7 → 4x = 2 → x1 = 1/2

4x + 5 = -7 → 4x = -12 → x2 = -3

Siguiendo este largo proceso se obtienen las mismas soluciones que mediante la fórmula inicial. Es claro que la aplicación de ésta es un procedimiento mucho más cómodo. De hecho, la fórmula se obtiene algebraicamente a partir de la ecuación general mediante un proceso similar al que se ha seguido para resolver esta ecuación concreta.

Las ecuaciones de segundo grado de los tipos siguientes se llaman incompletas porque les falta uno de los términos:

ax2 + bx = 0
ax2 + c = 0

Se pueden resolver aplicando la fórmula general, pero es más cómodo resolverlas despejando directamente la x.

En el primer caso,

ax2 + bx = 0 → (ax + b)x = 0

Una solución es x = 0 y la otra se obtiene resolviendo la ecuación lineal ax + b = 0. Por ejemplo:

3x2 + 5x = 0 → (3x + 5)x = 0

Las soluciones son: x = 0; x = -5/3.

En el segundo caso,

ax2 + c = 0 → ax2 = -c → x2 = -c/a

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Por ejemplo:

3x2 - 17 = 0 → 3x2 = 17

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Las soluciones son:

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2. Resolución de ecuaciones bicuadradas


Se llama bicuadrada la ecuación de la forma:

ax4 + bx2 + c = 0 (1)

es decir, una ecuación polinómica de cuarto grado que no tiene términos de grado impar. Si se realiza el cambio de variable x2 = y, con lo cual x4 = y2, entonces se transforma en una ecuación de segundo grado:

ay2 + by + c = 0 (2)


Cada una de sus soluciones puede dar lugar a dos, una o ninguna solución de la ecuación inicial. Así, si y es solución de la ecuación (2), se verifica que:

si y1 > 0 , entonces x1 = √y1, x2 = -√y1 son raíces de (1);
si y1 = 0 , también x1 = 0 es raíz de (1);
si y1 < 0 , x2 = y1 no da lugar a ninguna solución real de x.

Por ejemplo, la ecuación bicuadrada:

x4 - x2 – 12 = 0

se transforma, mediante el cambio de variable x2 = y, en la ecuación de segundo grado:

y2 - y - 12 = 0

Cuyas soluciones son

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y1 = 4, y2 = -3

Para y1 = 4: x2 = 4

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Luego, x1 =2, x2 = -2 son soluciones de la ecuación bicuadrada.

Para y2 = -3: x2 = -3

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Por tanto, las únicas raíces de la ecuación x4 - x2 - 12 = 0 son x1 = 2, x2 = -2.

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(*En numero 1 seguido de una letras es un subíndice, el numero dos (2) u otro (3, 4) es elevado a la potencia)
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Como citar este artículo:
"Ecuación," Enciclopedia Microsoft® Encarta® Online 2007
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