281 Respuesta(s) a este Tema

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Solución a " Del 1 al 9 todos dan 6 "

(1 + 1 + 1)! = 6



2 + 2 + 2 = 6



3 * 3 - 3 = 6



raiz(4) + raiz(4) + raiz(4) = 6



5 / 5 + 5 = 6



6 * 6 / 6 = 6



7 - 7 / 7 = 6



raiz cubica(8 ) + raiz cubica(8 ) + raiz cubica(8 ) = 6



raiz(9) * raiz(9) - raiz(9) = 6

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Damas en el lago. Imagen creada por Rob Gonsalves






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La Espiral de Frasier es una ilusión óptica en la que lo que nos parece una espiral no son más que círculos concéntricos.


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Trabalenguas:

Palabra o locución difícil de pronunciar, en especial cuando sirve de juego para hacer a uno equivocarse

Los trabalenguas se han hecho para destrabar la lengua, sin trabas ni mengua algun y si alguna mengua traba tu lengua, con un trabalenguas podrás destrabar tu lengua.



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Cuando cuentas cuentos

Cuando cuentas cuentos
cuenta cuantos cuentos cuentas
porque si no cuentas cuantos cuentos cuentas
nunca sabrás cuantos cuentos contaste.


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El suelo está entarabicuadriculado

El suelo está entarabicuadriculado,
¿quién lo desentarabicuadriculará?
El buen desentarabicuadriculador
que lo desentarabicuadricule,
buen desentarabicuadriculador será.


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La cinta de Moebio, una tira con un solo lado e infinita, es un concepto de la topología, la rama de las matemáticas que estudia la continuidad.

Xilografía de 1963







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Las trece bolas de billar

Tenemos 13 bolas aparentemente iguales en forma, tamaño, color, etc., pero nos aseguran que una de ellas pesa diferente a las otras 12, no nos dicen si pesa más o menos.

Con una balanza de dos platillos y en tan sólo tres (3) pesadas debemos de localizar esa bola.

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LAS TRECE BOLAS DE BILLAR

Tenemos 13 bolas aparentemente iguales en forma, tamaño, color, etc., pero nos aseguran que una de ellas pesa diferente a las otras 12, no nos dicen si pesa más o menos. Con una balanza de dos platillos y en tan sólo tres (3) pesadas debemos de localizar esa bola.

SOLUCIÓN

Tenemos trece bolas, las numeramos del 1 al 13.

El la primera pesada ponemos en un lado de la balanza las primeras cuatro bolas y en el otro lado las siguientes cuatro:



Primera pesada: 1 2 3 4 ---------- 5 6 7 8


a - Si la balanza no se inclina hacia ningún lado:

Segunda pesada (a): 9 10 ---------- 11 1


a.1. - Si la balanza no se inclina hacia ningún lado:

Tercera pesada (a.1.): 12 --------- 1


Si la balanza no se inclina hacia ningun lado: la bola distinta es la 13


Si la balanza se inclina: la bola distinta es la 12.



a.2. Si la balanza se inclina:


Tercera pesada: (a.2.): 9 ---------- 10

Si la balanza no se inclina hacia ningun lado: la bola distinta es la 11

Si la balanza se inclina hacia el lado contrario: la bola distinta es la 10.

Si la balanza se inclina hacia el lado contrario: la bola distinta es la 9.


b - Si la balanza no se inclina:

Segunda pesada (b): 1 2 5---------- 3 4 10



b.1. Si la balanza no se inclina:

Tercera pesada (b.1.): 6 --------- 7

Si la balanza no se inclina: la bola distinta es la 8

Si la balanza se inclina hacia el mismo lado que la primera pesada la bola distinta es la 7

Si la balanza se inclina hacia el lado contrario que la primera pesada la bola distinta es la 6



b.2. Si la balanza se inclina al lado contrario que la primera pesada:

Tercera pesada (b.2.): 3 ---------- 4

Si la balanza no se inclina: la bola distinta es la 5

Si la balanza se inclina hacia el mismo lado que la segunda pesada (b) la bola distinta es la 4

Si la balanza se inclina hacia el mismo lado que la segunda pesada (b) la bola distinta es la 3



b.3. Si la balanza se inclmismo lado que la primera pesada:

Tercera pesada (b.3.): 2---------- 1

Si la balanza se inclina hacia el mismo lado que la segunda pesada (b) la bola distinta es la 2

Si la balanza se inclina hacia el mismo lado que la segunda pesada (b) la bola distinta es la 1

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Intenta leer el texto.




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Figura Imposible


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En el Reino del Ingenio

E. I. Ignátiev





Colaboración de Arturo Novoa

Preparado por Patricio Barros - Antonio Bravo



Extracto del Prefacio del Autor a la Edición de 1908

¿Alguien en nuestro tiempo puede comprometerse a negar la necesidad perseverante de una amplia difusión y popularización de las ciencias matemáticas? Los conocimientos matemáticos elementales deben penetrar en nuestra enseñanza y educación desde la más tierna infancia. Al mismo tiempo, es obvio que la independencia mental, la reflexión y el ingenio no se pueden "inculcar" ni "meter" en ninguna cabeza. Los resultados son seguros sólo en aquellos casos, cuando la introducción en el campo de las matemáticas transcurre de una forma fácil y agradable, basándose en objetos y ejemplos del ambiente cotidiano, seleccionados con el ingenio o interés correspondientes. Al tratar de trasladar al lector al "reino del ingenio", claro que nosotros no nos seducimos con la esperanza de que hemos conseguido mostrarle este reino en toda plenitud y encanto. Para ello m necesitarían muchos libros como éste, pues así es de enorme y amplia el área de tan sólo aquellas partes de las matemáticas que pueden incluirse bajo el titulo común do "juegos y entretenimientos matemáticos".

Un lector atento observará que el libro ha sido, en lo posible, dividido en partes, cada una de las cuales contiene problemas homogéneos distribuidos en un orden conforme al aumento de su dificultad. En general, no hay necesidad de leer y analizar todo el libro en el orden escrito. Al principio, cada lector puede escoger aquel capítulo que más le interese y analizarlo, después pasar a cualquier otro y así sucesivamente. No obstante, no podemos asegurar que la distribución del material, hecha por nosotros, satisfará a todos. Esta es una cuestión muy subjetiva: lo que a uno se le da con facilidad, para otro es difícil y viceversa.

Es fácil convencerse que casi todos los problemas planteados en el libro pueden ser modificados y convertidos en objeto de conversación, incluso con niños pequeños. Por otra parte, tenemos esperanza que el presente libro pueda servir corno buen manual para el aprendizaje por cuenta propia de las matemáticas, no sólo de la juventud estudiantil, sino también de todo aquel que sienta vocación por el trabajo mental.

1908



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Capítulo I

Problemas-bromas, problemas-acertijos e historias graciosas

1. El reparto

Repartir cinco manzanas entre cinco personas, de tal forma que a cada persona le toque una manzana y que una manzana quede en la cesta.



2. ¿Cuántos gatos?

El cuarto tiene cuatro ángulos. En cada ángulo está sentado un gato. Frente a cada gato hay sentados tres gatos. En cada rabo esté sentado un gato. ¿Cuántos gatos hay en total en el cuarto?



3. El sastre

Un sastre tiene un trozo de paño de 16 metros del cual corta cada día un trozo de dos metros. ¿Al cabo ele cuántos días el sastre cortará el último trozo?




4. El número 666

Aumentar el número 666 a una vez y media sin realizar con él ninguna clase de operaciones aritméticas.




5. El quebrado

¿Puede un quebrado, en el que el numerador es menor que el denominador, ser igual a otro quebrado en el que el numerador es mayor que el denominador?





6. Partir una herradura

Con dos golpes de hacha partir una herradura en seis pedazos, pero sin mover los pedazos después de dar el golpe.

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Capítulo I

Problemas-bromas, Problemas-acertijos e Historias Graciosas


SOLUCIONES

1.- Una persona toma una manzana junto con la cesta.

2. - Alguien quizás comience a reflexionar así: 4 gatos en los ángulos; enfrente de cada uno de ellos otros tres gatos, lo que suponen 12 gatos y, además, en el rabo de cada gato otro gato más, o sea, 16 gatos. Resultan en total 32 gatos. Es posible que a su modo de ver tenga razón. Paro más razón tendrá aquél que inmediatamente reflexione que en el cuarto hay solamente cuatro gatos. Ni más, al menos.

3. - Si la pregunta se hace con rapidez, no dando tiempo al que responde para pensar, con frecuencia se obtiene una respuesta Incorrecta: después de 8 días. En realidad, el último trazo será cortado después de transcurrir 7 días.

4.- Escribir este número después girar el papel "cabeza abajo" (en 180°). Resultará el 999.

5.- Se puede, por ejemplo, -3/6 = 5/-10

6. Si dibuja la herradura mediante esa línea en forma de arco, como por regla general suele hacerse, entonces, por mucho que se piense no se conseguirá partirla, con dos líneas rectas, más que en cinco partes (fig.103 a)

Otra cosa será si se dibuja mostrando su anchura, o sea, como es en realidad una herradura. Entonces, después de varias pruebas, hallaréis la solución del problema (fig. 103 b).







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Continuamos...


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7. ¿Qué dijo el anciano?

Dos jóvenes cosacos, excelentes jinetes, con frecuencia hacían apuestas de quién adelantaría a quién. Más de una vez, bien uno bien otro, salía victorioso pero, al fin y al cabo, esto les aburrió.

- Mira -dijo Grigori- vamos a apostar al contrario. Ganará la apuesta aquél, cuyo caballo llegue a la meta segundo.
- Bueno - respondió Mijail.

Los cosacos montaron en sus caballos y salieron a la estepa. Se reunió una multitud de espectadores: todos querían presenciar una apuesta tan extraña. Un viejo cosaco comenzó a contar dando palmadas:

- ¡Uno!... ¡Dos!... ¡Tres!...

Pero los competidores, claro está, ni se movieron de sus sitios El público comenzó a reír, criticar y discutir, decidiendo que una apuesta así era imposible y que los competidores permanecerían en sus sitios, como se dice, hasta el fin de los siglos. En este momento, a la muchedumbre se acercó un anciano canoso, muy experto en cosas de la vida.

- ¿Qué pasa? - preguntó. Le explicaron la situación.

- ¡Pues, veréis! - dijo el anciano - bastará con unas palabras que yo les diga para que se lancen a galope como si les hubiesen escaldado.

Y efectivamente… se acercó el anciano a los cosacos, les dijo unas palabras y al cabo de medio minuto los cosacos salieron galopando desesperadamente por la estepa, empeñados en adelantar uno al otro a todo trance. Pero la apuesta de todos modos, la ganó el jinete cuyo caballo llegó segundo.

¿Qué le dijo el anciano a los cosacos?




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Continuamos...

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Solución a 7. ¿Qué dijo el anciano?

7. - El anciano dijo en voz baja a los cosacos: “Cámbiense de lugar".

Estos comprendieron de inmediato, cada uno de ellos montó el caballo de su contrincante y ambos lanzaron el caballo ajeno a todo galope, para que su propio caballo llegase segundo.

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(El capítulo II tiene muchas imágenes, por ahora queda pendiente)


Capítulo III

¿Como Calcular?




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29. - El movimiento del dedo

Un niño se quejaba que le era difícil retener en la memoria la tabla de multiplicar de los primeros diez números por 9. Su padre halló un método muy fácil para ayudar a la memoria utilizando loa dedos de las manos. He aquí este método.

Poner las dos manos juntas sobre la mesa y estirar los dedos.

Supongamos que cada dedo, en orden sucesivo, representa el número correspondiente: el primero a la derecha, el 1; el segundo, el 2; el tercero, el 3; el cuarto, el 4, y así sucesivamente hasta el décimo, que representará al número 10. Ahora podemos hacer la multiplicación de cualquiera de los primeros diez números por el número 9. Para ello, sin mover las manos puestas sobre la mesa, se deberá alzar solamente aquel dedo quo representa el número que querernos multiplicar.

Entonces, los dedos situados a la izquierda del dedo alzado, darán en suma el número de decenas y los situados a la derecha, el número de unidades.

Multipliquemos, por ejemplo, 7 por 9. Poner las manos sobre la mesa y alzar el séptimo dedo. A su izquierda quedarán 6 dedos y a su derecha, 3.

Entonces, el resultado de la multiplicación de 7 por 9 será igual a 63.

Este, a primera vista, sorprendente método de multiplicación mecánica, enseguida se hace comprensible si examinamos la tabla de multiplicar de los primeros diez números por 9:

1 x 9 = 09
2 x 9 = 18
3 x 9 = 27
4 x 9 = 36
5 x 9 = 45
6 x 9 = 54
7 x 9 = 63
8 x 9 = 72
9 x 9 = 81
10 x 9 = 90

Aquí las cifra, de las decenas, en las multiplicaciones, van aumentando sucesivamente en una unidad: 0, 1, 2, 3, 4,..., 8, 9 mientras que las cifras de las unidades, por el contrario, disminuyen en una unidad: 9, 8, 7,..., 1, 0. La suma de las cifras de unidades y decenas, en cualquier caso, dan 9. Esto se consigue con el simple levantamiento del correspondiente dedo y así... multiplicamos.

La mano de la persona es una de las primeras máquinas calculadoras.

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30. Un recorrido por el océano

Diariamente, al mediodía, un buque sale del puerto de El Havre con dirección a Nueva York a través del océano Atlántico y, al mismo tiempo, otro buque (de la misma Compañía sale de Nueva York con dirección a El Havre. El recorrido en una y otra dirección se realiza al cabo de 7 días exactamente.

¿Con cuántos buques de la misma compañía que naveguen en dirección contraria, se encontrará un buque durante un recorrido de El Havre a Nueva York?

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Capítulo III.

¿Cómo Calcular?

SOLUCIÓN

30.- La respuesta, aparentemente obvia, de “siete", por supuesto es incorrecta. Deben tenerse en cuenta lo mismo aquellos barcos que navegan ya hacia El Havre, como los que partirán en dicha dirección.

En el momento de la salida de nuestro barco de El Havre en camino, con dirección a dicho puerto, se encuentran 8 navíos de la misma compañía (uno de ellos entra al puerto de El Havre y parte del puerto de Nueva York). Nuestro buque se cruzará con los ocho. Además, durante los siete días de navegación, de Nueva York salen otros 7 buques (el último, en el momento de la llegada de nuestro barco a este puerto). Estos también se cruzarán con nuestro buque. O sea, la respuesta correcta es de 15 barcos.

Figura 125

Para que quede más claro, daremos la solución de este problema en forma gráfica. En la fig. 125 se han trazado los gráficos de circulación de los barcos de dicha compañía: los días están distribuidos por los ejes horizontales. Por el dibujo vemos que el buque, cuyo gráfico de circulación está representado por el segmento AB, se cruza en el océano con 13 navíos más con otros dos en los, momentos de salida y de llegada, o sea en total con 15 buques.

Estos gráficos muestran, además, que los encuentros suceden diariamente, al mediodía y a medianoche.

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Problema 31.-

31. La venta de manzanas

Una campesina trajo al mercado una cesta de manzanas. Al primer comprador le vendió la mitad de todas las manzanas y media manzana más, al segundo, la mitad de las restantes y media manzana más, al tercero, la mitad de las restantes y media manzana más y así sucesivamente. Cuando llegó el sexto comprador y compró la mitad de las manzanas que le quedaban y media manzana más, resultó que él y que los demás compradores tenían todas las manzanas enteras y que la campesina había vendido toda su mercadería.

¿Cuántas manzanas trajo la campesina al mercado?

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SOLUCIÓN

31. - Este problema se resuelve inmediatamente si se reflexiona que el último (sexto) comprador le tocó una manzana entera. Entonces, al quinto le tocaron 2 manzanas, al cuarto 4, al tercero 8 y así sucesivamente. En total eran

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63 manzanas,

o sea, la campesina trajo al mercado 63 manzanas

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32. - La oruga

El domingo, a las seis de la mañana, una oruga comienza a subir por un árbol. Durante el día, o sea, hasta las 18 horas, sube a una altura de 5 m, mientras que durante la noche baja 2 metros.

¿Al cabo de cuántos días y a qué hora, la oruga alcanza la altura de 9 metros?

33. - Dos ciclistas y una mosca

Dos ciudades, A y B, se encuentran a una distancia de 300 km. De estas ciudades, salen dos ciclistas al encuentro uno de otro, avanzando a una velocidad de 50 km/h. Junto con el primer ciclista de la ciudad A, sale volando una mosca a una velocidad de 100 km/h. La mosca adelanta al primer ciclista y vuela el encuentro del segundo, que partió de B. Al encontrarse con él, la mosca da la vuelta en dirección al ciclista A. Encontrándose con éste, da nuevamente la vuelta hacia el ciclista B y así continúa sus vuelos, hacia adelante y hacia atrás, hasta que los ciclistas se encuentran. Después la mosca se tranquiliza y se posa en la gorra de uno de los ciclistas.

¿Cuántos kilómetros vuela la moca?

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SOLUCIONES

32. Con frecuencia, buscando la solución de problemas semejantes, se razona así: la oruga durante un día, o sea, durante 24 horas sube 5 m menos 2 m. Es decir, en total durante un día sube 3 m. Por consiguiente, la altura de 9 m será por ella alcanzada al cabo de tres días, es decir, estará a esta altura el miércoles a las 6 de la mañana.

Pero esta respuesta es evidentemente incorrecta.

???

Al final del segundo día, o sea, el martes a las seis de la mañana, la oruga estará a una altura de 6 m; pero ese mismo día, comenzando desde las seis de la mañana y hasta las seis de la tarde, puede subir otros 5 m más. Por lo tanto, a una altura de 9 m como eso es fácil calcular, la oruga se encontrará el martes a las 13 h 12 min. (Naturalmente, debe considerarse que la oruga avanza con velocidad constante).

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33. Con frecuencia, para resolver este problema, se procede a diversos cálculos y reflexiones "finas", sin tomarse el trabajo de aclarar que la mosca voló sin parar, exactamente 3 horas y, por consiguiente, cubrió una distancia de 800 kilómetros.

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Hasta el Lunes por aquí.. buen fin de semana


34. - Un perro y dos caminantes

Dos caminantes van por un mismo camino en una misma dirección. El primero adelanta en 8 km al segundo y marcha a una velocidad de 4 km/h; el segundo hace 6 km a la hora. Uno de los caminantes tiene un perro el cual, precisamente en el momento en quo comenzamos a vigilarles, echó a correr de su amo en dirección al otro caminante a una velocidad de 15 km/h.

Después de alcanzarlo regresó al lado de su amo y nuevamente corrió donde el segundo caminante. Así continuó corriendo de un caminante a otro hasta que éstos se juntaron. Es preciso determinar el trayecto (la distancia total) recorrido por el perro.

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35. - Rápida elevación el cuadrado

Existe un procedimiento muy simple para elevar al cuadrado, de forma oral y rápida, números de dos cifras terminados en 5. Para ello, se debe multiplicar el número de decenas por el número entero mayor y más cercano a este número de decenas y al resultado se le añade la cifra 25.

Por ejemplo, 35² = 1225; 85² = 7225.

Explíquese la razón.

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36. - Un número interesante

Cierto número termina en 2. Cambiando de lugar esta cifra y poniéndola al principio, el número se duplica. Hállese este número.

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Veamos...

SOLUCIONES

34.- Este problema es muy parecido al anterior. La respuesta no depende de a quién de los caminantes pertenece el perro, al primero o al segundo. El segundo caminante alcanza al primero al cabo de 4 h y durante este tiempo el perro recorre 4 x 15 = 60 km.





35. - Cualquier número, que termine en 5, puede ser representado de la forma 10a + 5, siendo a la cantidad de decenas.

Entonces

(10a + 5)² = 100a² + 2 x 5 x 10a + 25 =
100a² + 100a + 25 = a(a + 1) x 100 +25

Esta igualdad demuestra por qué a la derecha del número a(a + 1) es preciso agregar 25 para obtener el cuadrado del número 10a + 5

Se puede utilizar un procedimiento análogo para elevar al cuadrado no sólo números de dos cifras, sino cualquier número entero terminado en 5. En este caso, no siempre es fácil realizar los cálculos precisos mentalmente. No obstante, economiza mucho más tiempo que cuando se multiplica en el papel.

Así, por ejemplo,


10 x 11 = 110, entonces, 105² = 11.025,

12 x 13 = 156, entonces, 125² = 15.625



3 x 124 = 15.252, entonces, 1.235² = 1.525.225.

36.- Puesto que llevando la cifra 2 al primer lugar el número se duplica, entonces, su penúltima cifra deberá ser 4 (2 x 2 = 4), la antepenúltima será 8 (2 x 4 = 8 ), la que antecede a ésta última será 6 (8 x 2 = 16), la anterior a esta 3 (1 + 2 x 6 = 13), después 7 (1 + 2 x 3 = 7) y así sucesivamente. Nuestro número deberá comenzar por 1. Por eso, hay que detenerse cuando después de la duplicación de la cifra y la adición de 1, de las cifras del orden anterior obtenemos 1.

El número buscado será

105.253.157.894.736.842.

Este es uno de los números que satisfacen las condiciones del problema. Todos los demás (son infinitamente muchos, se pueden obtener siguiendo el procedimiento indicado. Es fácil observar que cada uno de estos números estará compuesto por las combinaciones de cifras, ya halladas por nosotros, varias veces repetidas.

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37. Hallar un número

Hallar un número, cuya división por 2 da un resto de 1; por 3, un resto de 2; por 4, un resto de 3: por 5, un resto de 4; por 6, un resto de 5, mientras que por 7 se divide sin resto.

38. Suma de números consecutivos

Para resolver este problema se pueden utilizar fichas de papel, que pueden ser recortadas con facilidad, con circulitos dibujados a lápiz o a tinta. En la primera ficha se hace un circulito, en la segunda, 2 circulitos, en la terrera, 3 y así sucesivamente hasta diez. Cada ficha debe hacerse en dos ejemplares. Después de ello estaremos en plenas condiciones para resolver el problema siguiente.

Tenemos diez fichas, de una a diez. Es preciso determinar cuántos puntos en total dan estas fichas sin proceder a una suma sucesiva de los puntos de la primera a los de la segunda, el resultado de esta suma a los puntos de la tercera. etc., es decir, sin hacer una fila de sumas consecutivas.

La cuestión consiste en determinar rápidamente y sin proceder a sumas consecutivas, la suma total de los primeros diez números (de 1 a 10). Para ello, colocamos en fila diez fichas: de la primera a la décima. Debajo de esta fila colocamos otras diez fichas, pero en orden inverso:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Resultan dos filas, cada una de diez fichas, o diez columnas de dos fichas cada una. Si contamos los puntos de cada columna, resultan ser 11. En total en las diez columnas, o sea en las dos filas de fichas, tenemos diez veces once puntos, o sea 110. Pero, es evidente que las filas tienen la misma cantidad de puntos. Resulta, pues, que la suma de todos los puntos de una fila es igual a la mitad de 110, o sea, 55. Es decir, diez fichas suman 55 puntos.

No es difícil comprobar que de la misma forma, sin proceder a sumas consecutivas, podemos hallar la suma de cualquier serie de números enteros consecutivos hasta un número determinado.

Por ejemplo, la suma de todos los números de 1 a 100 es igual a la mitad de 101 multiplicado por 100, o sea, 5050.

39. La recolección de manzanas

Cien manzanas están dispuestas en fila a la distancia de un metro una de otra. A la misma distancia de la primera manzana, o sea, a un metro, el jardinero ha puesto una cesta.

Se pregunta:

¿cuál será la longitud del recorrido que hará el jardinero si decide recoger las manzanas una por una conforme están en fila y llevarlas cada vez a la cesta inmóvil, por separado?

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