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Curiosidades


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#241 Ge. Pe.

Ge. Pe.

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Publicado el 07 julio 2009 - 05:08








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ENIGMAS


Don Raúl Ibañez - Matemáticas


SOLUCIONES




1.- En la papelería

"La semana pasada fui a comprar cuadernos a una papelería, y me costaron a 18 euros cada uno, al cabo de un rato volví a comprar más y el dueño de la papelería, en vista de que yo era buen cliente, decidió dejarme los cuadernos a 17 euros cada uno. En total, gasté 351 euros. ¿Cuántos cuadernos compré?"

Solución:

9 a 17 euros y 11 a 18 euros.






2.- Sin poder subir al barco

Un barco fondeado en el puerto tiene desplegada una escalera para poder embarcar desde los botes. La escalera tiene desde la cubierta hasta el agua 22 escalones, con 20 cm entre cada dos escalones. Empieza a subir la marea, a un ritmo de 10 cm por hora. ¿Cuántos escalones subirá al cabo de 10 horas? (Nota: ¡Ojo con la periodicidad de las mareas!)".

Solución:

No sube ningún escalón, porque al subir o bajar la marea el barco sube y baja con ella ya que está flotando… (Tenía un poco de trampa, pero... ¡hay que pensar!)






3.- Una casa muy particular

"Hay tres luces en el piso de arriba, pero nosotros nos encontramos en el piso de abajo, que es donde están los tres interruptores. Si solamente podemos subir una vez, pero NO volver a bajar, ¿cómo averiguar qué interruptor corresponde a cada luz?". (Nota: no se pueden ver las luces desde abajo)

Solución:

Accionamos el primer interruptor y esperamos. Accionamos el segundo e inmediatamente subimos al piso de arriba. Tocamos las dos bombillas que están encendidas: la que está más caliente es la que hemos encendido primero, la que está más templada es la corresponde al segundo interruptor, y la tercera es la que no hemos encendido.




4.- Cuestión de edad

Natalia le dice a Leire: "Yo tengo dos veces la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes. Cuando tú tengas la edad que yo tengo ahora, la suma de las dos edades será 63". ¿Qué edad tienen Natalia y Leire?

Para saberlo, se plantea el siguiente sistema de ecuaciones, en donde x es la edad de Natalia e y la de Leire.

x = 2[y - (x - y)]
x + (x - y) + x = 63

Resolviéndolo obtenemos 28 años para Natalia y 21 para Leire.





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En:

El Reino del Ingenio E. I. Ignátiev

SOUCIONES


64.-

Los campesinos no sabían sumar quebrados debidamente. En efecto, súmense todas las
partes en las que los campesinos querían dividir el hallazgo:


1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 = 57/60 (formula 5)


Resulta que todos ellos en conjunto querían recibir menos dinero que el que encontraron
(60/60). El dinero hallado, junto con el dinero que añadió el jinete, fue dividido en 60
partes; de ellas 57/60 recibieron los campesinos y con 3/60 ó 1/20 partes se quedó el
jinete, Pero sabemos que el jinete se quedó con 3 rublos. Por lo tanto, 1/20 de todo el
dinero corresponde a 3 rublos. O sea, la cantidad total de dinero era de 3 x 20 = 60 rublos.
Carp recibió 1/4 parte, es decir, 15 rublos, pero si el jinete no pusiera su rublo, Carp debería
recibir 25 kopeks menos o 15 rublos - 25 kopek = 14 rublos y 75 kopeks, lo que
corresponde a 1/4 parte del dinero hallado, De lo expuesto se desprende que fueron
hallados 14 rublos 75 kopeks x 4 = 59 rublos. Con el dinero del jinete resultaron 60 rublos;
o sea, el jinete, efectivamente, metió en la bolsa 1 rublo. Colocó un rublo y se llevó 3: ganó
2 rublos haciendo un reparto inteligente.

¿Qué dinero fue el hallado en la bolsa?

Cinco billetes de 10 rublos, un billete de 5, uno de 3 y uno de 1 rublo. El jinete dio a Sidor
20 rublos: dos billetes de 10; a Carp, 15 rublos: un billete de 10 y otro
de 5; a Pajóm, 12 rublos: un billete de 10 y dos de 1 rublo (uno el encontrado y otro el
suyo); a Formá, el último billete de 10 rublos. Con el billete de tres rublos se quedó él.




65.-

El sabio obró con audacia, Temporalmente unió al rebaño su camello y con él resultaron
18 camellos. Una vez dividido este número conforme al testamento (el hermano mayor
recibió 18 x 1/2 = 9 camellos, el mediano 18 x 1/3 = 6 camellos, el menor 18 x 1/9 = 2
camellos) el sabio se apoderó otra vez de su camello (9 + 6 + 2 + 1=18). El secreto, lo
mismo que en el problema anterior, consiste en que las partes conforme el testamento
deberían dividir el rebaño los hermanos, en suma no dan 1. En efecto,


1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18












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#242 Ge. Pe.

Ge. Pe.

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Publicado el 09 julio 2009 - 06:49







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ENIGMAS

En el Reino del Ingenio E. I. Ignátiev

Colaboración de Arturo Novoa

Preparado por Patricio Barros - Antonio Bravo



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69.

El cuento sobre el príncipe Iván y Kaschéi el Inmortal, que sabía contar
solamente hasta diez



De este cuento citaremos sólo algunos fragmentos. El cuento es muy entretenido, pero a
nosotros nos interesan los problemas matemáticos que surgen en él.

"Vivía en cierto reino el príncipe Iván. Tenía tres hermanas: las princesas María, Olga y Ana.
Sus padres habían fallecido.

Casó el príncipe Iván a sus hermanas con los zares de los reinos de cobre, plata y oro y se
quedo solo. Un año entero vivió el príncipe Iván sin sus hermanas y comenzó a echarlas de
menos. Decidió, entonces, ir en busca de ellas para visitarlas".

Más adelante el cuento relata de cómo el príncipe Iván se encontró con Elena la Hermosa, de
cómo se enamoraron, de cómo la raptó Kaschéi el Inmortal decidiendo hacerla su mujer. Se
negó Elena la Hermosa a ser mujer de Kaschéi e indignado éste la convirtió en un abedul
blanco y fino.

“Reunió el príncipe Iván a sus guerreros y se fue en busca de Elena la Hermosa. Mucho
camino anduvo hasta que dio con una casucha donde vivía la bruja Yagá. Le contó el
príncipe Iván a dónde y a qué se dirigía. La bruja Yagá hacía ya mucho tiempo que
contendía con Kaschéi y decidió ayudar al príncipe Iván:

Para liberar a Elena de los encantos do Kaschéi deberás reunir a las puertas de su palacio a
los zares de los reinos de cobre, de plata y de oro. Justamente a la media noche deberán
ellos y tú también pronunciar juntos una palabra mágica. Entonces los encantos perderán su
fuerza y Kaschéi se verá imposibilitado de actuar.

Un cuervo negro escuchó esta conversación de la bruja con el príncipe Iván y se lo comunicó
todo a Kaschéi.

Al despedirse del príncipe Iván, la bruja Yagá le dio un anillo mágico

- Este anillo te conducirá donde vive Kaschéi. Y si para algo te hace falta abrir o cerrar algún
cerrojo pídeselo al anillo que lo haga. Lo cumplirá en un instante.

Kaschéi el Inmortal acechó al príncipe Iván, le capturó y tiró, junto con sus guerreros, a un
subterráneo profundo y oscuro.

-Jamás verás, Iván, a Elena la Hermosa.

Más adelante el cuento describe el subterráneo. Era una cueva cuadrada, que tenía 8 celdas
situadas a lo largo de las paredes (las hemos representado condicionalmente en la fig. 27 en
forma de cuadrados pequeños). Las celdas se comunicaban entre sí y todo el subterráneo,
que tenía una sola salida, se cerraba fuertemente con siete candados. En total eran 24
guerreros junto con el príncipe Iván y Kaschéi los distribuyó en las ocho celdas por iguales.
Cada tarde venía Kaschéi al subterráneo a burlarse del príncipe y cada vez contaba sus
prisioneros. Sabía contar solamente hasta diez, por eso contaba la cantidad de cautivos que
había en tres celdas a lo largo de cada pared del subterráneo y como eran 9 se quedaba
tranquilo.





Figura 27



Las dificultades no abatieron al príncipe Iván. Con ayuda del anillo mágico abrió los siete
candados y envió a tres de sus guerreros con mensajes donde los zares de los reinos de
cobre, plata y oro. Y para que Kaschéi no sospechara nada, el príncipe Iván distribuyó a los
guerreros restantes por las celdas de tal forma, que a lo largo de cada pared del subterráneo
hubiese 9 personas. Como siempre vino por la tarde Kaschéi, refunfuñó que los guerreros no
estaban sentados en sus sitios. Los contó a lo largo da cada pared y no sospechó nada.

Al cabo de un tiempo llegaron los mensajeros donde los zares de los reinos de cobre, plata y
oro, les relataron todo lo que había pasado y junto con ellos regresaron al subterráneo del
palacio de Kaschéi, precisamente en el momento en que decidió Kaschéi revisar el
subterráneo. El príncipe Iván distribuyó a todos sus guerreros y a los tres zares llegados de
tal forma que de nuevo en las celdas, a lo largo ele cada pared, estuviesen sentadas 9
personas. Y otra vez consiguió engañar a Kaschéi.

Después el cuento narra cómo, justamente a la medianoche, los tres zares, junto con el
príncipe Iván, se acercaron a las puertas del palacio de Kaschéi y pronunciaron la palabra
mágica, cómo salió Elena la Hermosa del encanto, cómo consiguieron huir todos del reino de
Kaschéi y, por fin, cómo se casaron el príncipe Iván y Elena la Hermosa.

El cuento así termina, pero ¿Cómo distribuyó a los cautivos el príncipe Iván?




70.

A recoger setas


Un abuelo fue a recoger setas al bosque con sus cuatro nietos. En el bosque se dispersaron
y comenzaron a buscar setas. Al cabo de media hora el abuelo se sentó debajo de un árbol a
descansar y recontar las setas: resultaron 45. En ese momento regresaron donde él los
nietos, todos con sus cestas vacías; ni uno de ellos había encontrado setas.

- ¡Abuelo! - le pide uno de los nietos - dame tus setas, para que mi cestita no esté vacía. Tal
vez me des la suerte y recoja muchas setas.
- ¡Y a mi, abuelo!
- ¡Y también a mí dame!

El abuelo repartió todas sus setas entre los nietos. Después nuevamente se dispersaron
todos y sucedió lo siguiente. Uno de los niños encontró dos setas más, otro perdió 2, el
tercero encontró tantas setas más, cuantas le había dado el abuelo y el cuarto perdió la
mitad de las setas recibidas del abuelo. Cuando regresaron a casa y contaron sus setas
resultó que todos tenían la misma cantidad.

¿Cuántas setas recibió del abuelo cada niño y cuántas tenía cada uno de ellos cuando
regresaron a casa?





71.

¿Cuántos había?


Una mujer llevaba a vender una cesta de huevos. Un transeúnte, con el que se cruzó, por
descuido, le empujó de tal forma que la cesta cayó al suelo y todos los huevos se cascaron.
El transeúnte quiso pagar a la mujer el precio de los huevos cascados y le preguntó cuántos
eran. "Yo no recuerdo - dijo la mujer - solamente sé bien que cuando los colocaba en la
cesta de dos en dos, me quedó uno de más. Exactamente lo mismo, me quedaba siempre
un huevo cuando los colocaba de tres en tres, de cuatro en cuatro, de cinco en cinco y de
seis en seis. Pero cuando los colocaba de siete en siete no me quedaba ni un sólo huevo".

¿Cuántos huevos llevaba?






72.

El reloj bien puesto en hora



Dos amigos Piotr e Iván, viven en una misma ciudad no lejos uno del otro. Cada uno tiene
en su casa solamente un reloj de pared. Un día Piotr se olvidó de dar cuerda a su reloj y
éste se paró. "Pues me voy de visita donde Iván y al mismo tiempo miro qué hora decidió
Piotr. Después de estar cierto tiempo de visita en casa de Iván, Piotr regresó a su casa y
puso su reloj de pared exactamente en hora. ¿Podríais vosotros hacer lo mismo?






73.

Restauración de unos apuntes


En un libro de cuentas figuraba el apunte que reproducimos en el dibujo 28. Éste resultó
manchado con tinta en varias partes de tal modo que no era posible comprender ni la
cantidad de trozos vendidos, ni las primeras tres cifras de la suma obtenida.




Figura 28



La pregunta es: ¿se puede, por los datos conservados, determinar la cantidad de trozos
vendidos y el total de la suma obtenida?






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#243 Ge. Pe.

Ge. Pe.

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Publicado el 13 julio 2009 - 11:21







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ENIGMAS

En el Reino del Ingenio E. I. Ignátiev

Colaboración de Arturo Novoa

Preparado por Patricio Barros - Antonio Bravo



____________________________


SOLUCIONES 69-73



69.

En el primer caso, en la caverna quedaron 21 personas. Distribuirlas, conservando las
condiciones de que a lo largo de cada pared haya 9 personas, se puede de muchas formas.
Una de ellas se muestra en la fig. 137.







70.

No es difícil comprender que el abuelo dio menos setas al tercer nieto que a los otros
dos, puesto que éste, para tener la misma cantidad de setas que sus hermanos, debería
recoger tantas setas cuantas recibió del abuelo. Para que la solución resulte más simple
diremos que el abuelo dio al tercer nieto un puñado de setas.

¿Cuántos puñados dio entonces al cuarto nieto?

El tercer nieto trajo a casa 2 puñados, ya que él mismo encontró tantas setas cuantas le dio
el abuelo. El cuarto nieto trajo a casa exactamente la misma cantidad de setas que el
tercero, o sea, también dos puñados, pero perdió la mitad de sus setas por el camino, es
decir, que el abuelo le dio 4 puñados.

El primer nieto trajo a casa 2 puñados, pero de ellos 2 setas encontró él mismo, o sea, el
abuelo le dio dos puñados menos dos setas. El segundo nieto trajo a casa 2 puñados, pero
por el camino perdió 2 setas, o esa, el abuelo le dio 2 montoncitos más dos setas.

Por lo tanto, el abuelo repartió entre sus nietos 1 puñado, mas 4, más 2 puñados sin dos
setas, más 2 puñados con dos setas demás, en total 9 enteros (en dos faltaban 2 setas pero
en los otros dos había dos setas demás). En 9 puñados iguales había 45 setas, entonces, en
cada puñado se tenían 45 / 9 = 5 setas.

El tercer nieto recibió del abuelo 1 puñado, o sea, 5 setas; el cuarto, 4, es decir, 5 x 4 = 20
setas; el primero, 2 sin dos setas, o sea, (5 x 2) – 2 = 8 setas; el segundo, 2 montoncitos
con dos setas demás, o sea (5 x 2) + 2 = 12 setas.







71.

Es evidente que el problema se reduce al hallazgo de un número que sea divisible por 7
(es decir sin resto) y que, dividido por 2, 3, 4, 5 y 6, dé un resto igual a 1.

El número menor, que se divide sin resto por 2, 3, 4, 5 y 6 (mínimo común múltiplo de estos
números,) es 60. Entonces, debemos hallar un número que sea divisible por 7 y que, al
mismo tiempo, sea en una unidad mayor que un número divisible por 60. Este número se
puede hallar realizando pruebas consecutivas: 60, dividido por 7 da de residuo 4, por lo
tanto, 2 x 60 da de residuo una unidad (2 x 4 = 8; 8 – 7 = 1).

Entonces, 2 x 60 es igual a un número múltiplo de 7 + 1, de aquí se deduce que (7 x 60 – 2
x 60) + 1 es igual a un número múltiplo de 7, o sea, 5 x 60 + 1 es igual a un número
múltiplo de 7,

5 x 60 + 1 = 301

Por lo tanto, el menor número que resuelve el problema es 301. Es decir, la cantidad mínima
de huevos que podía haber en la cesta es 301.







72.

Por lo visto, aquí la cuestión radica en saber la hora exacta cuando Piotr regresó a su
casa. El razonaba de la siguiente forma: “Doy cuerda a mi reloj y al irme miro qué hora
marca, digamos, la hora a. Al llegar donde mi amigo, inmediatamente le pregunto qué hora
es: supongamos que su reloj marca la hora b. Antes de irme otra vez miro qué hora marca
su reloj, digamos que, en dicho momento, marca la hora c. Al llegar a casa, inmediatamente
observo que mi reloj marca la hora d. Por estos datos me será más fácil determinar la hora
exacta.

La diferencia [d – a] indica el tiempo de mi ausencia en casa. La diferencia [c – b], el tiempo
que estuve con mi amigo, La diferencia [d – a] – [c – b] resultado de restar el segundo
tiempo del primero, me dará el tiempo que empleé en el camino. La mitad de éste, (b + d –
a -c)/2, fue empleado en el camino de regreso.

Añadiendo esta mitad a c, tendré (b + c + d -a)/2; esta será la hora exacta en que regresé
a casa"







73.

Conforme a las condiciones, toda la suma obtenida, por lo visto, no supera 9997 rublos
28 kopeks. Por consiguiente, fueron vendidos no más de 999.728/4.936, o sea, no más de
202 trozos.

La última cifra del número desconocido de trozos debe ser tal, que multiplicada por 6 dé un
producto cuya última cifra sea 8; tal cifra puede ser 3 u 8.

Supongamos que es 3. Entonces, el valor de tres trozos es igual a 14.808 kopeks.

Sustrayendo este número de la suma recibida, debemos obtener un número que termine en
920.

Suponiendo que la última cifra es igual a 3, la anterior a ella puede ser 2 ó 7, ya que sólo
estas cifras, multiplicadas por 6, dan un producto terminado en 2.

Supongamos que el número desconocido termina en 23. Sustrayendo el precio de 23 trozos
de toda la suma recibida, obtenemos un número terminado en 200. La tercera cifra puede
ser 2 ó 7, pero como quiera que el número desconocido no supera 202, entonces, nuestra
suposición os incorrecta.

Si la suposición fuese de que el número desconocido termina en 73, entonces, la tercera
cifra sería 4 ó 9; una suposición are también es incorrecta.

Por lo tanto, la última cifra no puede ser 3; queda la suposición que dicha cifra es 8.

Cálculos semejantes a los anteriores, demuestran que la segunda cifra puede ser 4 ó 9; de
estas dos suposiciones solo la segunda puede ser correcta.

El problema tiene solamente una solución: la cantidad de trozos vendidos es 98, toda la
suma obtenida es igual a 4837 rublos 28 kopeks.





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#244 Ge. Pe.

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Publicado el 16 julio 2009 - 12:46







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ENIGMAS


En:




Aprendizaje permanente

hiru



Blog de:


Raúl Ibañez - Matemáticas








Subiremos problemas planteados por el Profesor Don Raúl Ibáñez en el Portal de





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1.- A vueltas con las monedas

Disponemos de dos monedas idénticas: A y B (por ejemplo, de un euro), y mientras la moneda B permanece en reposo, la moneda A rueda alrededor de B, sin deslizarse, hasta que vuelve a su posición inicial. ¿Cuántas vueltas habrá dado la moneda A?



2.- De compras

Esta mañana he salido de compras por Bilbao y me he gastado todo lo que llevaba en cinco tiendas. En cada tienda gasté un euro más que la mitad de lo que tenía al entrar. ¿Cuánto dinero tenía cuando salí de casa?



3.- El baile

Este fin de semana estuve en una fiesta a la que asistimos 22 personas. Maite bailó con 7 chicos, Jone con 8 y Leire con 9, y así sucesivamente todas las chicas hasta llegar a Jaione, que bailó con todos los chicos. ¿Cuántos chicos y chicas hubo en la fiesta?



4. Bolas de colores

Tenemos una caja con 20 bolas rojas, 10 azules y 5 blancas. Si extraemos las bolas sin mirar, al azar, ¿cuántas bolas tenemos que sacar como mínimo para asegurar que obtenemos cuatro bolas de cada color?




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#245 Ge. Pe.

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Publicado el 18 julio 2009 - 06:10






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ENIGMAS


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Profesor Don Raúl Ibañez - Matemáticas


SOLUCIONES



1. A vueltas con las monedas

Disponemos de dos monedas idénticas: A y B (por ejemplo, de un euro), y mientras la moneda B permanece en reposo, la moneda A rueda alrededor de B, sin deslizarse, hasta que vuelve a su posición inicial. ¿Cuántas vueltas habrá dado la moneda A?

Solución:

La moneda A da dos vueltas sobre sí misma al girar alrededor de B... una forma de verlo es que al rodar A alrededor de B, la moneda A está en la misma posición cuando pasa por la parte superior e inferior de B.


___________________



2. De compras

Esta mañana he salido de compras por Bilbao y me he gastado todo lo que llevaba en cinco tiendas. En cada tienda gasté un euro más que la mitad de lo que tenía al entrar. ¿Cuánto dinero tenía cuando salí de casa?

Solución:

62 euros. Cuando salí de la última tienda no tenía dinero, luego al entrar debía tener 2 euros. Al entrar a la anterior tienda, la cuarta, debía tener 6, ya que la mitad menos 1 es 2 [(6/2) - 1 = 2]. En las anteriores tenía 14 y 30, y al salir de casa 62.



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3. El baile

Este fin de semana estuve en una fiesta a la que asistimos 22 personas. Maite bailó con 7 chicos, Jone con 8 y Leire con 9, y así sucesivamente todas las chicas hasta llegar a Jaione, que bailó con todos los chicos. ¿Cuántos chicos y chicas hubo en la fiesta?

Solución:

8 chicas y 14 chicos.


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4. Bolas de colores

Tenemos una caja con 20 bolas rojas, 10 azules y 5 blancas. Si extraemos las bolas sin mirar, al azar, ¿cuántas bolas tenemos que sacar como mínimo para asegurar que obtenemos cuatro bolas de cada color?

Solución:

Aunque parezca mentira necesitamos sacar 34 bolas para estar completamente seguros de que obtenemos cuatro bolas de cada color, debido a que el peor de los casos sería sacar 20 bolas rojas, 10 azules y 3 blancas y necesitaríamos una más para obtener cuatro de cada color.



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#246 Ge. Pe.

Ge. Pe.

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Publicado el 20 julio 2009 - 03:30






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En el Reino del Ingenio E. I. Ignátiev

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74-75-76
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74. Los bribones

En una fonda había cuatro mesas, una a lo largo de cada pared. De unas maniobras
regresaban hambrientos 21 soldados y se detuvieron a comer en ella, e invitaron también al
dueño a comer. Se sentaron todos de la siguiente manera: a tres mesas, los soldados, de a
7 por cada una de ellas; a la cuarta se sentó el dueño (en la fig. 29 los soldados y el dueño
están representados por rayitas).




Figura 29


Los soldados acordaron con el dueño que pagaría la cuenta aquél que quedase último,
observando la siguiente condición: contando por orden (en el sentido de las agujas del reloj)
a todos, incluido el dueño, se libera de pagar cada séptimo. El liberado inmediatamente se
va de la fonda y a continuación en la cuenta no participa. Resultó que el dueño quedó el
último. ¿Por quién comenzaron a contar?

¿Por quién se debería comenzar a contar, si fuesen solamente 4 a cada una de las tres
mesas?



75. Apuesta de un cochero con un pasajero


En una posada un pasajero impaciente al ver al cochero le pregunta:
- ¿No es hora ya de aparejar?
- ¡Pues no! - responde el cochero - aún queda media hora hasta la salida. Eso es lo
suficiente para veinte veces aparejar, desaparejar y otra vez aparejar. No es la primera vez
que lo hacemos.
¿Cuántos caballos se aparejan a un carruaje?
-Cinco.
-¿Y cuánto tiempo se necesita para aparejarlos?
- Pues... unos dos minutos, no más.
- ¿Es posible? - duda el pasajero. - Aparejar cinco caballos en dos minutos... Me parece
demasiado rápido...
- Eso es muy fácil - responde of cochero. –
Sacan los animales con los arreos ya puestos, con los tirantes y boleas, con las riendas.
Queda solamente enganchar los anillos de las boleas a los ganchos, alinear los dos caballos
del centro a la lanza, coger las riendas, sentarse en el pescante y asunto concluido...
¡Puedes arrear! Es cosa sabida...
- ¡Bueno! -dice el pasajero. - Supongamos que de tal forma se pueden aparejar y
desaparejar las caballerías veinte veces en media hora si se quiere. Pero, si es preciso
cambiar todos los caballos de lugar, entonces hacerlo sí que será imposible no solamente en
media, sino en dos horas.
-¡También es cosa fácil! - responde con orgullo el cochero. ¡Cómo si no fuese necesario a
veces hacerlo! En cualquiera combinación puedo cambiar los caballos de lugar en una hora e
incluso en menos. ¡Un caballo se cambia con otro y basta! ¡Es cuestión de un minuto!
- No, tú cambia los caballos no de las formas para ti más convenientes -observa el pasajerosino
de todas las formas posibles de combinar cinco caballos, contando para cada uno de los
cambios un minuto, como tú acabas de decir alabándote.
Estas palabras hirieron el orgullo del cochero.
- Claro que puedo aparejar todos los caballos de todas las formas posibles en no más de una
hora.
- ¡Yo daría cien rublos, solamente por ver cómo lo haces en una hora! - Exclama el pasajero.
- Pues yo, aunque soy pobre, pagaré por su viaje en la diligencia, si no hago lo que digo -
responde el cochero.
Así acordaron. ¿Cuál fue el resultado de la apuesta?



76. ¿Quién con quién está casado?


Tres campesinos, Iván, Piotr y Alexei, llegaron al mercado con sus mujeres: María, Ekaterina
y Anna. Quién con quién está casado no lo sabemos. Es preciso averiguarlo a base de los
siguientes datos: cada una de estas seis personas pagó por cada objeto comprado tantos
kopeks cuántos objetos compró. Cada hombre gastó 48 kopeks más que su mujer. Además,
Iván compró 9 objetos más que Ekaterina y Piotr 7 objetos más que María.



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#247 Ge. Pe.

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Publicado el 23 julio 2009 - 07:11








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En el Reino del Ingenio E. I. Ignátiev


Colaboración de Arturo Novoa

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SOLUCIONES A

74-75-76
____________________________


74.

Se debe comenzar a contar por el sexto soldado, sentado a la izquierda del dueño. En el
segundo caso, por el quinto soldado, a la derecha del dueño.


75.

Durante la ardorosa disputa el cochero no pudo hacerse una idea de cuán grande es la
cantidad de aparejos que deberá realizar, Calculemos esa cantidad.
Designando los caballos mediante las cifras 1, 2, 3, 4, 5 debemos aclarar de cuantas formas
o variantes se pueden disponer estas cinco cifras.

Dos cifras se pueden permutar de dos formas; (1, 2) y (2, 1), Las permutaciones (arreglos)
en la disposición de tres cifras: 1, 2, 3, que comiencen con la cifra 1, pueden ser también
dos. Pero este número de variantes no depende de cuál de las tres cifras fijadas está en
primer lugar, o sea, en total la cantidad de permutaciones en la disposición de tres cifras
puede ser 3 x 2 = 6;


123 132 213 231 312 321


Continuando, hallamos que con cuatro cifras, siendo fijada la primera, se pueden realizar 6
arreglos (variaciones) y que el conjunto de todos los arreglos de 4 cifras se divide en 4
grupos de 6 variantes cada uno, que comienzan por una su misma cifra: 1, 2, 3 ó 4. O sea,
que todos, los arreglos serán 4 x 6 = 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

De la misma forma, el conjunto de todos los arreglos de 5 cifras consta de 5 grupos cada
uno de 24 variantes, que comienzan por una de las cifras 1, 2, 3, 4 ó 5. En total sería
5 x 24 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 arreglos.

Se puede demostrar que el conjunto de arreglos para n cifras {1, 2, 3... n} es igual al
producto de 1 x 2 x 3 x…, x n. Este número se designa por n!

Volvamos a nuestro problema. En total el cochero debería hacer 170 aparejos (cambios) de
las caballerías. Si para cada uno de ellos necesitase sólo un minuto, entonces para realizar
todos los aparejos necesitaría 2 horas. El cochero perdió la apuesta.



76.

Si uno de loa varones compró, digamos x objetos entonces, conforme a las condiciones
del problema, pagó por ellos x2 kopeks. Si su mujer compró y objetos, entonces pagó por
ellos y2 kopeks. O sea, tenemos x2 – y2 = 48, o bien (x - y) * (x + y) = 48.
Los valores de x e y conforme a las condiciones son números enteros y positivos. Esto es
posible sólo en el caso cuando (x – y) y (x + y) son pares, siendo (x – y) < (x + y).

Descomponiendo 48, en estos factores vemos que tenemos solo tres posibilidades de
cumplir esta condición:

48 = 2 x 24 = 4 x 12 = 6 x 8






_______________________________







#248 Ge. Pe.

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Capítulo VII


Ejercicios con un trozo de papel




_____________________________________________


No es probable que entre nuestros lectores encuentre alguno que no sepa hacer con un
trozo cuadrado de papel un gallito, una barquita, una cajita y otros objetos. Esto se consigue
doblando y plegando de distintas formas el cuadrado de papel. Los pliegues así obtenidos
permiten dar a cualquier trozo de papel una u otra configuración deseada. Más adelante nos
convenceremos que plegando papeles se puede no sólo hacer juguetes graciosos o
interesantes, sino también una noción palpable sobre muchas figuras en el plano, así como
sobre sus propiedades. Un trozo de papel blanco ordinario (aún mejor de color) y un
cortaplumas, para alisar o quitar las partes sobrantes pueden resultar un magnifico material
para la asimilación de los principios de la geometría.

Doblando un trozo de papel, hacemos coincidir puntos cualesquiera, después, oprimiendo
uno contra otro con el dedo, alisamos el pliegue con el cortaplumas. Algo que cada uno de
ustedes seguramente más de una vez lo habrá hecho. Pero, ¿se han detenido alguna vez a
pensar por qué la línea del pliegue forzosamente resulta recta? Si se reflexiona, es fácil ver
En esto la manifestación de uno de los teoremas de la geometría, concretamente, el
teorema que el conjunto de puntos en un plano equidistantes de dos punto fijos es una línea
recta.

Será muy útil buscar argumentaciones geométricas para los ejercicios que siguen.



77. Un rectángulo

Tenemos un trozo de papel de forma irregular. ¿Cómo recortar de él un rectángulo utilizando
solamente un cortaplumas?




78. Un cuadrado

¿Cómo de un rectángulo de papel obtener un cuadrado?

Analicemos a continuación algunas propiedades del cuadrado obtenido. La línea del pliegue,
que pasa por dos vértices opuestos del cuadrado, es su diagonal. La otra diagonal resulta
doblando el cuadrado por el otro par de vértices opuestos, conforme se ve en la fig. 30. Si
hacemos una superposición directa veremos que las diagonales del cuadrado se cortan en
ángulo recto y que en el punto de intersección, estas diagonales se dividen por la mitad. El
punto de intersección de las diagonales es el centro del cuadrado.

Si doblamos el cuadrado por las diagonales cada diagonal dividirá el cuadrado en dos
triángulos coincidentes, cuyos vértices se sitúan en los ángulos opuestos del cuadrado. Cada
uno de estos triángulos tiene, naturalmente, dos lados iguales, es decir, son isósceles.





Figuras 30 y 31



Además, estos triángulos son rectángulos, ya que cada uno de ellos tiene un ángulo recto.

Es fácil observar que dos diagonales dividen el cuadrado en 4 triángulos isósceles
rectángulos, coincidentes si se superponen, cuyo vértice común se encuentra en el centro
del cuadrado.

Doblemos ahora nuestro cuadrado de papel en dos partes iguales, de tal forma que su lado
coincida con el otro opuesto a él. Obtendremos un pliegue que pasa por el centro del
cuadrado (fig. 31). La línea de este pliegue, como es fácil comprobar, tiene las siguientes
propiedades:

1) es perpendicular a los otros dos lados del cuadrado;

2) divide estos lados por la mitad;

3) es paralela a los dos primeros lados del cuadrado;

4) ella misma se divide por mitades en el centro del cuadrado;

5) divide el cuadrado en dos rectángulos, coincidentes durante la superposición;

6) cada uno de estos rectángulos es equidimensional (es decir, de igual superficie) a
uno de los triángulos, en que se divide el cuadrado por la diagonal.


Doblemos el cuadrado otra vez de tal forma que coincidan los otros dos lados. El pliegue
ahora logrado y el obtenido antes, dividen el cuadrado inicial en 4 cuadrados coincidentes (fig. 31).

Doblemos estos 4 cuadrados menores por sus ángulos, situados en el centro de los lados del
cuadrado mayor (por las diagonales), obtendremos un cuadrado (fig. 32), inscrito en
nuestro cuadrado inicial. El cuadrado inscrito, como será fácil comprobar, tiene una
superficie igual a la mitad de la superficie del cuadrado mayor y el mismo centro. Uniendo
los centros de los lados del cuadrado interior (inscrito) obtenemos otro cuadrado con una
superficie igual a 1/4 de la superficie del cuadrado inicial (fig. 33). Si en este último
cuadrado inscribimos otro, de la misma forma, su superficie será igual a 1/8 de la superficie
del inicial. En éste, a su vez, podernos inscribir otro, cuya superficie será igual a 1/16 de la
superficie del inicial y así sucesivamente.





Figuras 32 y 33




Si doblamos el cuadrado de cualquier forma, pero procurando que el pliegue pase por su
centro, obtendremos dos trapecios coincidentes si se superponen.



79. Un triángulo isósceles

Obtener un triángulo isósceles plegando un cuadrado de papel.




80. Un triángulo equilátero

¿Cómo obtener un triángulo equilátero plegando un cuadrado de papel?
Examinemos algunas propiedades del triángulo equilátero obtenido. Doblémoslo plegando
cada uno de sus lados a la base. De tal forma obtendremos sus tres alturas. AA', BB’, CC'
(fig. 34).






Figura 34




He aquí algunas propiedades del triángulo equilátero, que pueden ser deducidas examinando
la figura 34, obtenida por nosotros.

Cada una de las alturas divide el triangulo en dos triángulos rectángulos, coincidentes si se
superponen.

Estas alturas dividen los lados del triángulo por mitades y son perpendiculares a ellos; se
intersecan en un punto.

Supongamos que las alturas AA' y CC' se encuentran en O. Trazamos BO y la prolongamos
hasta el encuentro con AC en B'. Ahora demostremos que BB' es la tercera altura. De los
triángulos C'OB y BOA' hallamos que |OC'| = |OA'| y nos cerciorarnos de que los ángulos
OBC' y A'BO son iguales. Después, de los triángulos AB'B y CB'B se deduce que los ángulos
AB'B y BB'C son iguales, es decir, cada uno de ellos es un ángulo recto. Entonces, BB’ es la
altura del triángulo equilátero ABC. Esta altura también divide AC en dos mitades en B'.
De una forma análoga a la anterior se puede demostrar que 0A, OB y OC son iguales y que
también lo son OA', OB' y OC'.

Por lo tanto, desde O, tomado por centro, se pueden trazar circunferencias, las cuales
pasan, correspondientemente, por A, B y C y por A', B' y C’. La última circunferencia es
tangente a los lados del triángulo.

El triángulo equilátero ABC se divide en seis triángulos rectángulos coincidentes, cuyos
ángulos en el punto O son iguales y en tres cuadriláteros coincidentes y simétricos tales, que
cerca de ellos se puede trazar una circunferencia.





Figura 35



La superficie del triángulo AOC es igual a la superficie duplicada del triángulo A’OC’; por
consiguiente, |AO| = 2|OA’|. De forma análoga, |BO| = 2|OB'| y |CO| = 2|OC’|. Resulta que
el radio de la circunferencia trazada cerca del triángulo ABC, es dos veces mayor que el
radio de la circunferencia inscrita.

El ángulo recto A del cuadrado es dividido por las rectas AO y AC en tres partes iguales. El
ángulo BAC es igual a 2/3 del ángulo recto. Cada uno de los ángulos C'AO y OAB' son
iguales a 1/3 del ángulo recto. Lo mismo se refiere a los ángulos en B y C.

Cada uno de loe seis ángulos en O son iguales a 2/3 del resto.

Plieguen el papel por las líneas A’B’, B’C’ y C’A’ (fig. 35). En este caso, A’B’C’ es un triángulo
equilátero. Su superficie es igual a 1/4 del área del triángulo ABC. Los segmentos A’B’, B’C’,
C’A’ son paralelos a AB, BC, CA correspondientemente e iguales a sus mitades. AC’A’B’ es un
rombo; C’BA’B’ y CB’C’A’ también; A’B’, B’C’, C’A’, dividen las correspondientes alturas en
dos partes iguales.




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Hasta el martes...

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#249 Ge. Pe.

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Capítulo VII.


Ejercicios con un Trozo de Papel




SOLUCIONES


77-78-79-80


_____________________________________________



77.

Poner sobre la mesa una hoja de papel de forma irregular y efectuar un doblez cerca de
uno de sus bordes, Supongamos que esta dobladura es la línea recta XX' (fig. 139).




Figura 139



Cortar con un cortaplumas por la línea de la doladura y separar el trozo menor de la hoja de
papel. De tal forma es obtendrá un borde rectilíneo, de la misma forma doblar la hoja de
papel por la línea DY, procurando que el borde rectilíneo XX' se superponga exactamente. Al
desenvolver después el papel se verá que el doblez DY forma un ángulo recto con el borde
XX' puesto que una superposición demuestra que el ángulo YDX' es igual al ángulo YDK. Lo
mismo que antes, pasar con el cortaplumas por la segunda dobladura y separar la parte
innecesaria.

Si se repite el procedimiento indicado se obtendrán los bordes CB y BA. La superposición
demuestra que los ángulos A, B, C y D son rectos e iguales entro sí y que los lados BC y CD
son iguales a DA y AB, respectivamente. O sea, el trozo de papel obtenido ABCD (fig. 139)
tiene la forma de un rectángulo. Una superposición demuestra las siguientes propiedades del
mismo:

1) sus cuatro ángulos son rectos:

2) sus cuatro lados no son todos iguales

3) los dos lados más largos y los dos más cortos, son iguales entre sí.





78.

Tomamos una hoja rectangular de papel A'D'CB la plegamos en diagonal, de tal forma
que uno de los lados cortos, por ejemplo, el CB coincida con el lado largo BA', tal como se
muestra en la fig. 140.





Figura 140



El ángulo B se sitúa en el borde BA', en el punto A; el extremo del doblez por el borde CD'
se situará en el punto D., Después hacemos un doblez por los puntos A y D desdoblando por
la recta AD la parte A'D'DA que sobresale. Desplegando después la hoja de papel obtenemos
la figura ABCD, o sea, un cuadrado, cuyos ángulos son rectos y todos los lados iguales.




79.

Tomamos una hoja de papel cuadrada y la doblamos en dos partes, de tal forma que los
bordes de sus lados opuestos coincidan (fig. 141).





Figura 141



Resultará en una dobladura que pasa por el centro de los otros dos lados perpendiculares a
ellos. En esta línea central del cuadrado tomarnos un punto cualquiera y hacemos
dobladuras que pasen por este punto y por los ángulos del cuadrado, situados a ambos
lados de la línea central. Obrando de esta forma obtenemos un triángulo isósceles, en cuya
base yace uno de los lados del cuadrado. La línea central divide, naturalmente, el triángulo
isósceles en dos triángulos rectángulos coincidentes si se superponen. Dicha línea divide
también el ángulo del vértice del triángulo isósceles en dos partes iguales.





80.

En la línea central de un cuadrado determinamos un punto, distanciado de dos vértices
del cuadrado en una longitud igual a uno de sus lados, y hacemos un doblez como en el
ejercicio anterior. En este caso obtenemos un triángulo equilátero (fig. 142).






Figura 142



El punto necesario en la línea central del cuadrado, es fácil de hallar. Para ello es preciso
doblar la base AC por AA', cerca de su extremo A, hasta que el otro extremo C no coincida
con la línea central en el punto B.



_____________________________________________________








#250 Ge. Pe.

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Regresando...algunos enigmas ya los hemos subido, pero decidimos sistematizarlos de acuerdo al blog que sirve de fuente original.

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Subiremos problemas planteados por el Profesor Don Raúl Ibáñez en el Portal de





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Azúcar


Disponemos de una balanza de platillos, una pesa de 50 g y 1 kg de azúcar. Estamos preparando un postre y necesitamos separar 300 g de azúcar. ¿Cómo podemos hacerlo utilizando la balanza el menor número de veces posible?



Peso del ladrillo


Un ladrillo se equilibra en una balanza con tres cuartos de ladrillo más una pesa de tres cuartos de kilo. ¿Cuánto pesa el ladrillo?



Filas


¿Cómo colocaremos 24 personas en 6 filas de manera que en cada fila haya 5 personas?



A vueltas con las monedas


Disponemos de dos monedas idénticas: A y B (por ejemplo, de un euro), y mientras la moneda B permanece en reposo, la moneda A rueda alrededor de B, sin deslizarse, hasta que vuelve a su posición inicial. ¿Cuántas vueltas habrá dado la moneda A?



De compras


Esta mañana he salido de compras por Bilbao y me he gastado todo lo que llevaba en cinco tiendas. En cada tienda gasté un euro más que la mitad de lo que tenía al entrar. ¿Cuánto dinero tenía cuando salí de casa?



El baile


Este fin de semana estuve en una fiesta a la que asistimos 22 personas. Maite bailó con 7 chicos, Jone con 8 y Leire con 9, y así sucesivamente todas las chicas hasta llegar a Jaione, que bailó con todos los chicos. ¿Cuántos chicos y chicas hubo en la fiesta?



Bolas de colores


Tenemos una caja con 20 bolas rojas, 10 azules y 5 blancas. Si extraemos las bolas sin mirar, al azar, ¿cuántas bolas tenemos que sacar como mínimo para asegurar que obtenemos cuatro bolas de cada color?




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Publicado el 11 agosto 2009 - 05:03





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SOLUCIONES






Filas


¿Cómo colocaremos 24 personas en 6 filas de manera que en cada fila haya 5 personas?

Para esta pregunta hay más de una solución posible:


Una de ellas es poner las filas formando un hexágono compartiendo cada fila a su miembro inicial y final con las filas limítrofes.

Otra solución sería formar dos triángulos, en ésta ocasión cada fila también comparte a su miembro inicial y final.

Y una tercera solución sería poner tres filas horizontales con cinco personas y otras dos verticales encima con dos personas. Las tres personas que faltan en las filas verticales se comparten con las horizontales. Las cinco personas que sobran se ponen ellas solas en una fila aparte.




Peso del ladrillo


Un ladrillo se equilibra en una balanza con tres cuartos de ladrillo más una pesa de tres cuartos de kilo. ¿Cuánto pesa el ladrillo?

Solución: 3 kg




Azúcar


Disponemos de una balanza de platillos, una pesa de 50 g y 1 kg de azúcar. Estamos preparando un postre y necesitamos separar 300 g de azúcar. ¿Cómo podemos hacerlo utilizando la balanza el menor número de veces posible?

Hay dos soluciones posibles.


Podemos pesar primero 50 g de azúcar con la pesa, luego poner esos 50 g y la pesa en un platillo y, en el otro platillo, 100 g de azúcar. Pasamos la pesa al platillo con los 100 g de azúcar, equilibramos la balanza y ya tenemos los 300 g. La otra opción es separar el azúcar en dos montones de 500 g, uno de estos en dos montones de 250 g, añadir a uno de estos la pesa de 50 g y equilibrar la balanza.




A vueltas con las monedas


Disponemos de dos monedas idénticas: A y B (por ejemplo, de un euro), y mientras la moneda B permanece en reposo, la moneda A rueda alrededor de B, sin deslizarse, hasta que vuelve a su posición inicial. ¿Cuántas vueltas habrá dado la moneda A?

Solución:


La moneda A da dos vueltas sobre sí misma al girar alrededor de B... una forma de verlo es que al rodar A alrededor de B, la moneda A está en la misma posición cuando pasa por la parte superior e inferior de B.




De compras


Esta mañana he salido de compras por Bilbao y me he gastado todo lo que llevaba en cinco tiendas. En cada tienda gasté un euro más que la mitad de lo que tenía al entrar. ¿Cuánto dinero tenía cuando salí de casa?

Solución:


62 euros. Cuando salí de la última tienda no tenía dinero, luego al entrar debía tener 2 euros. Al entrar a la anterior tienda, la cuarta, debía tener 6, ya que la mitad menos 1 es 2 [(6/2) - 1 = 2]. En las anteriores tenía 14 y 30, y al salir de casa 62.




El baile


Este fin de semana estuve en una fiesta a la que asistimos 22 personas. Maite bailó con 7 chicos, Jone con 8 y Leire con 9, y así sucesivamente todas las chicas hasta llegar a Jaione, que bailó con todos los chicos. ¿Cuántos chicos y chicas hubo en la fiesta?

Solución:

8 chicas y 14 chicos.





Bolas de colores


Tenemos una caja con 20 bolas rojas, 10 azules y 5 blancas. Si extraemos las bolas sin mirar, al azar, ¿cuántas bolas tenemos que sacar como mínimo para asegurar que obtenemos cuatro bolas de cada color?

Solución:


Aunque parezca mentira necesitamos sacar 34 bolas para estar completamente seguros de que obtenemos cuatro bolas de cada color, debido a que el peor de los casos sería sacar 20 bolas rojas, 10 azules y 3 blancas y necesitaríamos una más para obtener cuatro de cada color.



_________________________________________________







#252 Ge. Pe.

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Publicado el 14 agosto 2009 - 02:44







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Capítulo VII.


Ejercicios con un Trozo de Papel



81-82-83-84


_______________________________________________________









Hallaremos otra demostración del mismo teorema si en un cuadrado de papel hacemos pliegues conforme se muestra en la fig. 42. Aquí GEH es un triángulo y la superficie del cuadrado, construido en EH es igual a la suma de las superficies de los cuadrados, construidos en EG y GH.

Valgámonos ahora de unas tijeras para no sólo plegar sino también cortar el papel. Así nos encontraremos con muchos problemas interesantes y útiles.


_________________________________________________


ENIGMAS










86. De un rectángulo, un cuadrado



Un trozo de papel o cartón tiene la forma de un rectángulo, cuyos lados son iguales a 4 y 9 unidades de longitud. Cortar este rectángulo en dos partes iguales, de tal forma que colocándolas en una posición determinada, formen un cuadrado.



87. Una alfombrilla


Un ama de casa poseía una alfombrilla rectangular de 120 x 90 centímetros, cuyos dos ángulos opuestos se habían desgastado y hubo que cortarlos (en la fig. 44 son los trozos triangulares rayados).
Pero esta señora, al fin y al cabo, necesitaba una alfombrilla rectangular y encargó a un maestro que cortase la alfombrilla en dos partes, de tal forma, que cosiéndolas fuese posible obtener un rectángulo, no perdiendo, claro está, ni un trozo de material.

El maestro cumplió el deseo del ama de casa. ¿Cómo lo logró?









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Hasta el lunes o martes...

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#253 Ge. Pe.

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Publicado el 17 agosto 2009 - 01:06







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Capítulo VII.


Ejercicios con un Trozo de Papel



SOLUCIONES

85-86-87-88-89


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#254 Ge. Pe.

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Publicado el 22 agosto 2009 - 05:35







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1.- Palillos y cuadrados


Disponemos de 12 palillos que colocamos en nuestra mesa formando un cuadrado de 2 palillos de lado (luego necesitamos 8 palillos) y a su vez con los 4 palillos que nos quedan dividimos nuestro cuadrado en 4 cuadrados adyacentes de 1 palillo de lado. El juego consiste en mover 4 palillos para conseguir convertir los 4 cuadrados en 3.



2.- El collar


Mientras un niño jugaba con el collar de su madre, éste se rompió. Una hilera de perlas se escapó: la sexta parte cayó al suelo, la quinta parte se quedó en la cama y un tercio lo recogió la madre. El niño reunió la décima parte y el cordón se quedó con seis perlas. ¿Cuántas perlas tenía el collar?



3.- El envío del paquete


Con motivo de la celebración de un acto en homenaje al metro, al sistema métrico decimal, un escultor tenía que enviar a París una barra de un metro de longitud, pero cuando acudió a Correos allí tenían dos tarifas. Una más barata para paquetes tales que las medidas de sus lados fuesen menores de 60 centímetros y una más cara para paquetes en los que alguna o todas las medidas fuesen mayores de 60 centímetros. ¿Qué tarifa (y por qué) tuvo que utilizar el escultor?



4.- Serie numérica


El problema consiste en dar una serie de números para intentar adivinar el siguiente. La serie es:

1
11
21
1211
111221
312211
13112221
1113213211

Y preguntámos: ¿cuál será el siguiente número?



5.- El viaje


El verano pasado viaje a Asturias. Cuando iba a Oviedo, me crucé con un hombre con siete esposas. Cada esposa llevaba siete sacos, cada saco tenía siete gatos y cada gato tenía siete gatitos. Gatos, gatitos, sacos y esposas, ¿cuántos iban, en total, hacia Oviedo?


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Hasta el Lunes o Martes...

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#255 Ge. Pe.

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Publicado el 25 agosto 2009 - 07:56






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RESPUESTAS


1.- Palillos y cuadrados


Disponemos de 12 palillos que colocamos en nuestra mesa formando un cuadrado de 2 palillos de lado (luego necesitamos 8 palillos) y a su vez con los 4 palillos que nos quedan dividimos nuestro cuadrado en 4 cuadrados adyacentes de 1 palillo de lado. El juego consiste en mover 4 palillos para conseguir convertir los 4 cuadrados en 3.

Solución:


Quitamos dos palillos de una esquina y los dos palillos de la esquina opuesta, quedando dos cuadrados y cuatro palillos para formar el tercer cuadrado.




2.- El collar


Mientras un niño jugaba con el collar de su madre, éste se rompió. Una hilera de perlas se escapó: la sexta parte cayó al suelo, la quinta parte se quedó en la cama y un tercio lo recogió la madre. El niño reunió la décima parte y el cordón se quedó con seis perlas. ¿Cuántas perlas tenía el collar?

Solución:


El collar tenía 30 perlas. Se trata de resolver la siguiente ecuación: x/6 + x/5 + x/3 + x/10 + 6 = x




3.- El envío del paquete


Con motivo de la celebración de un acto en homenaje al metro, al sistema métrico decimal, un escultor tenía que enviar a París una barra de un metro de longitud, pero cuando acudió a Correos allí tenían dos tarifas. Una más barata para paquetes tales que las medidas de sus lados fuesen menores de 60 centímetros y una más cara para paquetes en los que alguna o todas las medidas fuesen mayores de 60 centímetros. ¿Qué tarifa (y por qué) tuvo que utilizar el escultor?

Solución:

La tarifa más barata, ya que utilizando dos veces el teorema de Pitágoras podemos comprobar que en una caja cúbica de 60 centímetros de lado la diagonal mayor mide 1 metro y 4 centímetros.





4.- Serie numérica


El problema consiste en dar una serie de números para intentar adivinar el siguiente. La serie es:

1
11
21
1211
111221
312211
13112221
1113213211

Y preguntámos: ¿cuál será el siguiente número?

Solución: 31131211131221.


Cada serie de números describe la serie anterior:

1 contiene "un" "uno", es decir, 11.
11 contiene "dos" "unos", es decir, 21.
21 contiene "un" "dos" y "un" "uno", es decir, 1211.
1211 contiene "un" "uno", "un" "dos" y "dos" "unos", es decir, 111221.
111221 contiene "tres" "unos", "dos" "doses" y "un" "uno", es decir, 312211.





5.- El viaje


El verano pasado viaje a Asturias. Cuando iba a Oviedo, me crucé con un hombre con siete esposas. Cada esposa llevaba siete sacos, cada saco tenía siete gatos y cada gato tenía siete gatitos. Gatos, gatitos, sacos y esposas, ¿cuántos iban, en total, hacia Oviedo?

Solución:


Solamente el narrador iba a Oviedo, ya que los demás iban en dirección contraria.



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#256 Ge. Pe.

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Publicado el 28 agosto 2009 - 08:41







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Capítulo VII.


Ejercicios con un Trozo de Papel



90-91-92-93-94-95


____________________________





90.- Un cuadrado en 20 triángulos iguales

Cortar un trozo cuadrado de papel en 20 triángulos iguales y colocarlos de tal forma que resulten 5 cuadrados iguales




91.- De un cuadrado, tres cuadrados

Una cruz está formada por cinco cuadrados, es preciso cortarla en partes con las cuales se pueda formar un cuadrado.




92.- De un cuadrado, tres cuadrados

Cortar un cuadrado en siete partes de tal forma que, colocándolas en un orden determinado, se obtengan tres cuadrados iguales.

Este ejercicio se puede generalizar:

1. Corlar un cuadrado en partes, con las cuales se pueda componer una cantidad determinada de cuadrados iguales.

2. Cortar un cuadrado en la mínima cantidad de partes, con las cuales, colocadas en un orden determinado, se pueda obtener cierta cantidad de cuadrados iguales entre sí.




93.- De un cuadrado, dos cuadrados

Cortar un cuadrado en 8 partes de tal forma que, siendo colocadas en un orden determinado, se obtengan dos cuadrados, siendo la superficie de uno de ellos el doble de la del otro.




94.- No se da




95.- De un hexágono, un cuadrado

Cortar un hexágono regular en 5 partes de tal forma que siendo colocadas correspondientemente, formen un cuadrado.




___________________



Hasta el Lunes (si hay tiempo, quizá el domingo, si no, el Martes)

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#257 Ge. Pe.

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Publicado el 31 agosto 2009 - 12:54







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Ejercicios con un Trozo de Papel



90-91-92-93-94-95


____________________________


RESPUESTAS











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Publicado el 09 septiembre 2009 - 12:37







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Publicado el 16 septiembre 2009 - 05:32








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#260 Ge. Pe.

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Publicado el 20 septiembre 2009 - 07:55







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Aprendizaje permanente

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Raúl Ibañez - Matemáticas








Subiremos problemas planteados por el Profesor Don Raúl Ibáñez en el Portal de





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Copas


Tenemos 9 copas colocadas en fila y alternativamente boca arriba y boca abajo, es decir, son 5 copas colocadas boca arriba que tienen intercaladas 4 copas boca abajo. El problema consiste en dar la vuelta a las copas, de dos en dos, hasta conseguir que queden 4 copas boca arriba y 5 copas boca abajo (no importa el orden). ¿Cómo lo harías?


Dejar de fumar


Maider era una fumadora terrible, a la costumbre de liarse sus propios cigarrillos con su librillo y el tabaco de liar, se añadía el hecho de que se fumaba dos tercios de cada cigarrillo y el resto lo guardaba para volverlo a utilizar. Sin embargo, presionada por la nueva ley antitabaco decidió dejar de fumar... se dijo "tengo tabaco en la bolsa para liarme 27 cigarrillos y al terminar esta bolsa no volveré a fumar más". ¿Cuántos cigarrillos se fumó antes de dejar de fumar para siempre?


Acertijo


Resuelva el acertijo. "Cada mochuelo en su olivo y sobra un mochuelo. Dos mochuelos en cada olivo y sobra un olivo". ¿Cuántos mochuelos y olivos hay?


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