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Curiosidades


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#261 Ge. Pe.

Ge. Pe.

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Publicado el 23 septiembre 2009 - 05:56







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ENIGMAS


Prof. Don Raúl Ibañez - Matemáticas


_______________________________


RESPUESTAS


Copas


Tenemos 9 copas colocadas en fila y alternativamente boca arriba y boca abajo, es decir, son 5 copas colocadas boca arriba que tienen intercaladas 4 copas boca abajo. El problema consiste en dar la vuelta a las copas, de dos en dos, hasta conseguir que queden 4 copas boca arriba y 5 copas boca abajo (no importa el orden). ¿Cómo lo harías?

Solución:


No es posible hacerlo, ya que al mover las copas de dos en dos tenemos únicamente dos posibilidades, que las dos copas que movemos estén cada una colocada de forma distinta entonces no cambia el número de las que miran hacia abajo y hacia arriba, y si están colocadas de igual forma los cambios que se producen no conducen al final deseado.


_________


Dejar de fumar


Maider era una fumadora terrible, a la costumbre de liarse sus propios cigarrillos con su librillo y el tabaco de liar, se añadía el hecho de que se fumaba dos tercios de cada cigarrillo y el resto lo guardaba para volverlo a utilizar. Sin embargo, presionada por la nueva ley antitabaco decidió dejar de fumar... se dijo "tengo tabaco en la bolsa para liarme 27 cigarrillos y al terminar esta bolsa no volveré a fumar más". ¿Cuántos cigarrillos se fumó antes de dejar de fumar para siempre?



Solución:


27 + (27/3=9) + (9/3=3) + (3/3=1) = 40 cigarrillos (y le sobra una colilla).


______________


Acertijo


Resuelva el acertijo. "Cada mochuelo en su olivo y sobra un mochuelo. Dos mochuelos en cada olivo y sobra un olivo". ¿Cuántos mochuelos y olivos hay?

Solución:


4 mochuelos y 3 olivos. Podemos hacerlo un poco a tanteo, ya que por el enunciado sabemos que el número de mochuelos es par, luego probamos 2, 4, ... y vemos que con 4 mochuelos ya sale si hay 3 olivos.

Otra opción es considerar x = mochuelos, y = olivos, y el enunciado nos dice que x=y+1, x=2(y-1), y despejar las incógnitas.




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#262 Ge. Pe.

Ge. Pe.

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Publicado el 27 septiembre 2009 - 07:36






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La solución no la tengo... pero me pareció tan interesante, que se los dejo acá...



En:

Revista Investigación y Ciencia 395 -AGOSTO 2009







Los prisioneros y María



Rayo, Agustín





Un problema matemático y uno filosófico.



Inicio artículo

Para la columna de este mes, he elegido dos acertijos. El primero es un problema puramente matemático, y tiene una solución apodíctica. El segundo es un problema filosófico. La solución no es apodíctica, pero a mí me parece fascinante.

Problema 1: Los prisioneros


En una habitación hay tres prisioneros. Los tres cierran los ojos; a cada uno se le pone un sombrero rojo o azul. El guarda tira una moneda para decidir qué sombrero ponerle a cada prisionero.
Una vez que los prisioneros tienen los sombreros puestos, se les permite abrir los ojos. Cada uno puede ver los sombreros de sus colegas, pero no el sombrero propio. A partir de ese momento no se permite ningún tipo de comunicación entre prisioneros. El guarda conduce a cada prisionero a una celda individual. Le pregunta en privado: "¿De qué color es tu sombrero?" Si los tres rehúsan contestar, se les mata a todos. Si alguno de los tres contesta incorrectamente, se les mata a todos. Si al menos uno contesta correctamente (y nadie contesta incorrectamente), se les deja a todos en libertad. Las celdas están suficientemente separadas para que ninguno de los prisioneros pueda enterarse de qué contestaron los demás o si rehusaron contestar.


Problema 2: María y el tomate


María es una gran científica, una experta mundial en la ciencia del color. Ha adquirido un conocimiento profundo del tipo de condiciones perceptivas bajo las cuales tenemos la experiencia de ver rojo y del tipo de estado cerebral en el que nos encontramos cuando sentimos tales experiencias.
Tristemente, María nunca ha experimentado el rojo. Desde pequeña ha estado confinada a una celda en la que hay sólo objetos blancos y negros. Todo lo que sabe sobre el color lo ha aprendido en los libros de papel blanco y tinta negra que sus captores le han permitido leer.
Un día se le informa a María que se le permitirá ver un tomate rojo. Antes de mirar el tomate, María tiene toda la información física pertinente al caso. No sólo sabe que el tomate es rojo: sabe precisamente qué longitudes de onda reflejará, cómo estimulará esa luz su retina y qué estados cerebrales serán consecuencia del estímulo. Pero nunca ha experimentado la sensación de ver un objeto rojo y tener esos estados cerebrales.

Problema: Cuando finalmente se le muestra el tomate a María, ¿aprenderá algo nuevo acerca de cómo es el mundo, algo que no esté implícito en lo que sabía antes del experimento?


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#263 Ge. Pe.

Ge. Pe.

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Publicado el 06 octubre 2009 - 04:57








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ENIGMAS


En el Reino del Ingenio E. I. Ignátiev


Colaboración de Arturo Novoa

Preparado por Patricio Barros - Antonio Bravo




Capítulo IX

Acertijos de números



¿De qué clase de acertijos se trata?

Claro que, en esencia, la cuestión radica no en adivinar enigmas, sino en resolver
problemas. Se propone al que lo desee pensar un número sin preguntarle cuál. A cambio de
ello le ordenan realizar con el número pensado una serie de operaciones, a primera vista
totalmente arbitraria, y decir al "adivinador" el resultado final obtenido. El "adivinador" de
tal forma, se hace con el cabo del hilo, tirando del cual va deshaciendo el ovillo hasta llegar
al comienzo.

Estos problemas, presentados en una forma ingeniosa y divertida, que cada uno de los
participantes del juego puede discurrir a su gusto son muy entretenidos y beneficiosos para
todos los jugadores. Con estos acertijos se desarrolla el hábito en el cálculo mental de forma
paulatina, ya que se pueden pensar números grandes e pequeños, conforme el deseo y
fuerza mental de los jugadores.

Advertimos que en ente capitulo, en la mayoría de los casos, se dan sólo problemas
relativamente esquematizados y lacónicos. Concedemos por lo tanto al lector la más amplia
libertad para adornar las condiciones de problemas semejantes con el fruto de su fantasía o
para adecuarlos a cualquier acontecimiento conocido.






101. Adivinar un número

Distribuir los números del 1 al 12 en círculo (fig.56). Después de hacerlo, puede el lector
acertar cualquier número que piense uno de sus amigos.





Con el mismo fin es posible utilizar un reloj y proponer a alguien acertar la hora que él
piense.

También se puede utilizar un dominó, un cartón del juego al la lotería, etc. ¿Cómo, pues,
acertar el número pensado?

Proponer a un amigo que piense cualquier número de nuestro círculo. Después se le indica
cualquier número del mismo círculo y, sin decírselo, se le añade a este último número la
cantidad de 12 (es decir, la cantidad máxima de números en el círculo).

Se obtendrá cierto número que se enuncia en voz alta. A continuación, proponer al que
juega que cuente, para sí, comenzando por el número que ha pensado, hasta el número que
usted enunció en voz alta, pero señalando cada vez con el dedo primero el número pensado
por usted y después cada uno de los siguientes en orden inverso. Cuando cuente hasta el
número pronunciado por usted en voz alta, señalando con el dedo de la forma indicada, se
parará precisamente en el número u hora que había pensado. Supongamos, por ejemplo,
que alguien piensa el número 5 y que usted le indica, el 9. Añadiendo a este último, sin
pronunciarlo, 12 se obtiene 21. Después le propone al que juega:

- “Cuente para sí comenzando por el número que pensó, hasta 21, pero comience a contar
señalando con el dedo el número 9, luego el 8, después el 7 y así sucesivamente, yendo por
el circulo hasta que cuente 21. Entonces, pronunciando en vez alta el número en que se ha
detenido señalando con el dedo.

El que juega cumple lo dicho y, contando de tal forma hasta 21, él mismo le indicará el
número 5 pensado.

Se puede presentar este juego de forma más misteriosa, por ejemplo, así.
Alguien piensa un número (supongamos el 5). Usted elige, por ejemplo, el 9, lo añade 12 y
obtendrá el 21. Después le pide al que juega:

- Ahora yo voy a golpear con un lapicero (o con el dedo); a cada golpe que dé, añada para
sí, una unidad al número pensado. Pero en cuanto llegue al 21, pronuncie en voz alta: "21".
Después de lo acordado, comenzar a golpear primero en el 9, después en el 8, luego en el 7,
etc....o en el 12, en el 11 y así sucesivamente.

El que juega, a cada golpe contará para sí: 5, 6, 7...etcétera, pero en cuanto pronuncie en
voz alta:"21", eso quiere decir que usted acaba de dar el golpe precisamente en el número
por él pensado.

- ¡Ha pensado el número 5! - lo dice.

- ¡Exacto! lo responderá extrañado de cómo lo ha podido acertar, claro, de no ser que él
mismo sepa en qué consiste el juego, pues para el que no lo sabe podrá parecerle un truco.






102. ¿Cuántos objetos quedan?

Propóngale a un amigo que tome en cada mano una cantidad igual de objetos (por ejemplo,
cerillas). Pero con una condición, que la cantidad de objetos en una mano no sea inferior a
cierto número b. Usted no sabe la cantidad de objetos que él ha tomado. Pedirle, a
continuación, que pase de la mano derecha a la mano izquierda la cantidad de objetos que
usted le pide (por ejemplo, a; claro a < b). Después, sin que le diga ni enseñe nada, pedirle
que de la mano izquierda se deshaga de tantos objetos, cuantos lo quedan en la mano
derecha, y, por fin, que se deshaga de todos los objetos que le quedan en la mano derecha,
también sin decirle ni enseñarle a usted cuántos son. Después de hacerlo, le puede asegurar
a su amigo, sin vacilaciones, que en la mano izquierda le quedan 2a objetos. ¿Por qué?





103. ¿A qué es igual la diferencia?

Propóngale a un amigo que escriba cualquier número de dos cifras y después que las cambie
de lugar y que de los números, así obtenidos, reste el menor del mayor. Si le dice cual es la
última cifra de la diferencia, usted le podrá decir inmediatamente cual es la diferencia en
total. ¿Cómo se hace?





104. ¿A qué es igual el cociente?

Propóngale a un amigo que escriba cualquier número de tres cifras, pero con la condición
que las cifras extremas se diferencien una de otra en la cantidad que usted le indique.

Después pedirle que en este número permute las cifras extremas. Resultará otro número.

Proponerle que de los dos números así obtenidos, reste el menor del mayor. La diferencia de
esta resta siempre se dividirá por 9 y usted siempre podrá decir, por adelantado, cuál será
el cociente de esta división.
¿A qué es igual el cuociente?





105. El número 1089

El problema 104 se puede proponer de una forma más amena, sobro todo para los niños.

Escribir en un papel el número 1089; colocar el papel dentro de un sobre y cerrarlo.

Después proponer a alguien, dándole el sobre, que escriba en él un número de tres cifras,
tal que sus cifras extremas sean diferentes y que esa diferencia sea mayor que la unidad.

Después, pedirle que cambie de lugar las cifras extremas y que de los dos números, así
obtenidos, reste el menor del mayor. Por último, proponerle que en el resultado de dicha
resta permute otra vez las cifras extremas y que añada el número obtenido a la diferencia
de los dos primeros. Cuando haga la suma, proponerle que abra el sobre. En él encontrará
un papel, en el que verá con sorpresa el número 1089, o sea, el mismo número que obtuvo
de la suma. ¿Por qué resultó así?







106. ¿Qué número se ha pensado?

Proponerle a un amigo que pienso un número, después que lo duplique y al resultado
obtenido que le añada 5. Luego, que multiplique por cinco este último número y que añada
al resultado 10. La suma obtenida que la multiplique por 10. Si después de hacerlo se le
pregunta qué número, por fin, obtuvo y se le propone restar de ese número 350, la cifra que
indica la cantidad de centenas en el residuo será el número pensado. ¿Por qué resulta así?

Supongamos, por ejemplo, que si, ha pensado el número 3. Si lo duplicarnos, obtendremos
6; si añadimos 5, resultará 11; multiplicando por 5, obtendremos 55; si después añadimos
10, resultará 65; si multiplicamos este último número por 10, tendremos 650. Y si, por fin,
restamos de este último número 350, tendremos como resultado 300, es decir, tres
centenas. O sea, el número pensado es el 3.





107. Una tabla mágica




He aquí una tabla, en cuyas cinco columnas se han escrito, en un orden determinado, todos
los números del 1 al 31. Esta tabla se distingue la siguiente "propiedad mágica".

Piense cualquier número (que no sea mayor que 31) e indique solamente en qué columna de
esta tabla está escrito. Al instante se "adivina" el número pensado.

Si por ejemplo, ha pensado el número 27, diga solamente que él está en la 1a, 2a, 3a, 4a ó 5a
columna; al instante se adivina que el número pensado es el 27. (Se puede acortar incluso
sin mirar la tabla).

En lugar de una tabla como ésta se puede hacer un abanico mágico. Constrúyalo, o adquiera
uno adecuado y en cinco de sus varillas escriba la tabla dada. Después, mientras se abanica,
propóngale a su interlocutor que piense un número e indique solamente aquellas varillas del
abanico donde está inscrito. Inmediatamente usted acertará el número pensado.
¿Pero, en qué consiste el secreto?






108. Un número par

Piense un número par. Triplicarlo. Tomar la mitad del número obtenido y triplicarla también.
Si usted me dice a qué es igual el cociente de la división de este último número por 9, lo diré
qué número ha pensado.

Supongamos que pensó el número 6. Después de triplicarlo se obtiene 18, cuya mitad es
igual a 9. Triplicándola obtenemos 27. Si dividimos ahora este número por 9 resultará 3, es
decir, la mitad del número pensado.

Este truco se puede presentar de una forma más general, proponiendo a quien sea que
piense un número entero cualquiera. Pero, en este caso, son precisas algunas
modificaciones.

Si el número pensado, después de triplicarlo, no se divide por 2, entonces, será preciso
añadir 1 y después dividirlo por 2. A continuación deberá procederse como antes. Pero debe
tenerse en cuenta que, en este caso, para adivinar el número pensado, después de hacer la
duplicación es preciso, obligatoriamente, añadir 1.

Supongamos, loor ejemplo, que se ha pensado el número 5. Triplicándolo, obtenemos 15.
Para dividir este número por 2 es preciso añadir 1, entonces, tendremos 16. La mitad de 16
es 8, triplicando este último obtenemos 24. El cociente de la división, con resto de este
número por 9 es igual a 2. Multiplicando este número por 2 y añadiendo al resultado 1,
obtenemos 5.

Si hace este truco por primera vez y el número triplicado no se divide por 2, su amigo sin
duda que le preguntará: "¿Qué hacer si el número no es divisible por 2?" Esta pregunta le
indica que, para acertar el número pensado, al resultado de la duplicación del cociente le
debe añadir 1. Usted mismo le puede preguntar si el número es o no divisible por 2. Pero
esta pregunta debe formularse de tal forma como si usted quisiese ayudar a su amigo en el
cumplimiento de las operaciones aritméticas, no dándole motivo para sospechar que su
respuesta puede ayudarle a adivinar el número pensado.
¿En qué consiste el secreto ere este truco?






109. Una modificación del problema anterior

Que su amigo triplique el número pensado, y luego divida el producto por 2. Si de la
triplicación resulta un número impar, añadirle una unidad y luego que lo divida por 2. Que
triplique nuevamente una de las mitades y que después tome la mitad del número obtenido,
añadiendo, como antes, una unidad, si el número que resulta de la multiplicación por 3 es
impar. Preguntarle luego a qué es igual el cociente de la división del último número por 9 y
pedirle multiplicar dicho cociente por 4. En este caso, es preciso tener en cuenta que si para
dividir por 2 la primera vez hubo que añadir 1, el que adivina deberá retener en la memoria
1 y si fue preciso también añadir 1 para dividir por 2 la segunda vez, el adivinador deberá
retener en la memoria 2. Por consiguiente, si las dos veces para dividir por ' sin residuo
hubo que añadir 1, entonces, después de multiplicar el cociente por 4, al resultado debemos
añadirle 3; si la división por 2 no resultaba sin residuo de no añadir 1 sólo la primera vez,
entonces, se añade 1; si sólo en la segunda, se añade 2. Como resultado siempre se obtiene
el número pensado.

¿Por qué?

Supongamos, por ejemplo, que se ha pensado el número 7; triplicándolo obtenernos 21;
para dividirlo por 2 sin residuo es preciso añadir 1; añadiendo una unidad y dividiendo 22
por 2 obtenemos 11; triplicando este último número obtenemos 33; pura dividirlo por 2 es
preciso otra vez añadir 1, después de lo cual resulta 34, la mitad de este número es 17. En
él la cantidad de 9 es contenida solamente una vez. Por consiguiente, debe tomarse el
número 4 y añadir a él 3, ya que la división en la primera y segunda veces se realizó
solamente después de añadir 1. Resulta 4 + 3 = 7, es decir, el número pensado.






110. Otra modificación del problema 108

Proponerle a un amigo añadir al número pensado una de sus mitades; a la suma obtenida
añadirle la mitad de esta misma suma. Preguntarle después a qué es igual el cociente de la
división del último número por 9 y proponerle que multiplique dicho cociente por 4, como se
hizo en el problema anterior. Pero también aquí es preciso recordar que si en el primer caso
el número no es divisible por 2, se le debe añadir 1 y después hacer la división; de la misma
forma deberá obrarse en el segundo caso. Si la división sin resto no se cumple sólo en el
primer caso, el ''adivinador" debe retener en la memoria 1, si sólo en el segundo, 2 y si en
ambos casos, 3. Estas cifras deben sumarse correspondientemente al producto de la
multiplicación por 4 con el fin de obtener el número pensado.

Por ejemplo, se ha pensado el número 10; añadiendo a él su mitad, obtenemos 15 - número
impar - por lo tanto, añadimos 1 y, tomando la mitad del resultado, se tiene 8; sumando 8 a
15 obtenemos 23; en este número el 9 es contenido 2 veces. Dos veces por cuatro es igual
a 8, pero a 8 le debemos añadir 2, ya que en el segundo caso para dividir sin resto por 2
hubo que añadir 1. O sea, 8 + 2 = 10, es decir, obtenemos el número pensado.
Si el número pensado es impar, entonces, deberá ser dividido en dos partes, tales que una
de ellas sea en una unidad mayor que la otra. Acordemos, para abreviar, denominar el
primer sumando mitad mayor, y el segundo, mitad menor. Entonces el problema examinado
se puede plantear de otra forma bastante interesante.

Piense un número, añádale su mitad o, si es impar, su "mitad mayor". A esta suma añadirle
su mitad o, si es impar, su "mitad mayor". Cuántas veces el número obtenido contiene la
cantidad de 9?

A continuación, multiplique esta cantidad de veces por 4. En este caso, al que pensó el
número se le deberán hacer las siguientes preguntas: ¿se puede sustraer 8 del resto de la
división por 9?

De ser posible, con el fin de obtener el número pensado, al producto de la multiplicación del
cociente por 4 se le añade 3. Si no es posible restar 8, deberá preguntársele si es posible
restar 5. De serlo, se añade 2. Si no se puede restar 5, entonces, se le pregunta si es
posible restar 3 y, de serlo, se añade 1,

Es fácil convencerse que el problema propuesto de esta última forma, de hecho, se reduce a
los anteriores, ya que triplicar un número y tomar después la mitad del producto, es lo
mismo que añadir a un número su propia mitad y así sucesivamente.

Quien comprenda y asimile por completo las resoluciones de estos problemas con sus
modificaciones podrá determinar una multitud de reglas, semejantes a las anteriores, para
acertar números pensados.

Se puede, por ejemplo, pedir triplicar el número pensado, después tomar la mitad de la
triplicación, pedir que esta mitad se multiplique ya por 5 y tomar la mitad del resultado de la
multiplicación. A continuación preguntar a qué es igual el cociente de la división del último
número por 15 y multiplicarlo por 4. No olvidando que, lo mismo que en los otros
problemas, es preciso añadir al resultado de la multiplicación 1, 2 ó 3 conforme a los casos
cuando la división por 2 no fue posible sin resto: en el primero, segundo o en ambos casos.
Un lector atento demostrará todo lo expuesto con facilidad.

También se puede proponer multiplicar el número pensado por 5, tomar la miad del
resultado y multiplicarla otra vez por 5; luego dividir el resultado por 2 y el cociente
obtenido por 25, multiplicando el resultado por 4. Pero, una vez más advertimos que se
debe tener en cuenta los casos cuando la división por 2 se realiza sin resto y cuando no,
para añadir 1, 2 ó 3, en los casos necesarios, o no añadir en ninguno de ellos si dichas
divisiones y se realizan sin resto.

En una palabra, los problemas ofrecidos se pueden variar de muchas formas.




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#264 Ge. Pe.

Ge. Pe.

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Publicado el 18 octubre 2009 - 03:02







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En el Reino del Ingenio E. I. Ignátiev


Colaboración de Arturo Novoa

Preparado por Patricio Barros - Antonio Bravo




Capítulo IX

Acertijos de números



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SOLUCIONES

















El cociente de la división de 9n + 8 por 9 es igual a n. Obrando con él conforme
se indica en las condiciones, obtenemos el número pensado 4n + 3.
Así pues, siempre resulta el número pensado.


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#265 Ge. Pe.

Ge. Pe.

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Publicado el 31 octubre 2009 - 02:21





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En el Reino del Ingenio E. I. Ignátiev


Colaboración de Arturo Novoa

Preparado por Patricio Barros - Antonio Bravo



Capítulo IX

Acertijos de números



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111. Acertar el número pensado utilizando otro procedimiento

Al principio se debe obrar corno en la resolución de los problemas anteriores, es decir,
proponer triplicar el número pensado, tomar la mitad (o la "mitad mayor") del producto
obtenido, triplicarlo y tomar de nuevo la mitad (o la "mitad mayor") del resultado logrado.
Pero después, en lugar de preguntar a qué es igual el cociente de la división del último
número por 9, se puede pedir nombrar todas las cifras que componen a este último número
menos una, pero con la condición de que la no nombrada no sea cero.

En este caso, el que pensó el número es preciso que comunique también el orden de estas
cifras, tanto el de aquellas que nombró como el de la no nombrada.

Después de esto, para adivinar el número pensado, deberán sumarse todas las cifras
mencionadas y de esta suma sustraer 9 tantas veces cuantas sean posibles. El resto que
queda después de ello debe restarse de 9 y entonces, resultará la cifra no dicha; cuando el
residuo es cero la cifra desconocida es 9. Se obra precisamente así en aquellos casos cuando
la división por 2 se realiza sin resto. Si para dividir los resultados de las triplicaciones por 2
fue preciso añadir 1 la primera vez, entonces, a la suma de las cifras conocidas se añade 6 y
a continuación m procede de la forma ya explicada.

Si fue preciso añadir 1 solamente la segunda vez, entonces, a la suma de las cifras
conocidas le añade 4.

Si fue preciso añadir 1 en ambos casos, entonces, a dicha suma se le añade 1.

Hallando de tal forma la cifra desconocida de la última mitad obtenemos al mismo tiempo, la
propia mitad. Dividiendo esta cifra por 9, multiplicando luego este resultado por 4 y
añadiendo, cuando sea preciso, 1, 2 ó 3, hallamos el número pensado.

¿En que consiste el secreto?

Por ejemplo, se ha pensado el número 24. Triplicándolo y dividiéndolo dos veces tenernos
que la última mitad es 54. Supongamos que el que pensó el número comunica al
"adivinador" la primera cifra de esta mitad, o sea, el 5. Sustrayendo 5 de 9 obtenemos la
segunda cifra 4. O sea la última mitad es 54. Dividiendo 54 por 9 se obtiene 4. Por
consiguiente, el número pensado es 4 x 6 = 24.

Supongamos que el número pensado es 25. Triplicándolo y tomando la mitad de la
triplicación, triplicando esta mitad y tomando nuevamente la mitad, obtenemos 57. Pero
aquí hay que recordar que en el primer caso para obtener la mitad, tuvimos que añadir 1;
por lo tanto, si el que pensó el número declara por ejemplo, la primera cifra, el 5, entonces
a 5 se debe añadir 6, de lo que obtenemos 11, quitando 9 obtenemos 2, restando 2 de 9
hallamos la segunda cifra, el 7. O sea, la segunda mitad es 57; en ella la cantidad de 9 es
contenida 6 veces. De ellos se deduce que el número pensado es 4 x 6 + 1 = 25.

Supongamos que el piensa el número nos dice que la última mitad del número contiene tres
cifras, que dos últimas son 1 y 3 y que dividir por 2 sin resto, la segunda vez tuvo que
añadir 1. En este caso, a la suma 1 + 3 = 4 es preciso añadir 4, de lo que resulta 8.
Sustrayendo 8 de 9, obtenemos 1. Por consiguiente, la última mitad es 113; esta mitad
contiene la cantidad de 9, 12 veces. Por lo tanto, el número pensado es 4 x 12 + 2 = 50.
Exactamente lo mismo se debe obrar si el que pensó el número dice que después de la
triplicación y división por 2 obtuvo un número de tres cifras, en el cual la primera es 1 y la
última 7 y que en ambos casos, al dividir por 2, se tuvo que añadir 1. Entonces, obramos de
la siguiente forma: 1 + 7 + 1 = 9 Restando 9 obtenemos de resto cero, es decir, la cifra
desconocida de la última mitad es 9 y la mitad en total es 197, en la cual la cantidad de 9
está contenida 21 veces.

Por lo tanto, de lo anterior, deducimos que el número pensado es 4 x 21 + 3 = 87.




112. Averiguar el número pensado mediante otro procedimiento

Expondremos un procedimiento que, a primera vista parece más complicado que los otros,
aunque se explica muy fácilmente.

Supongamos que alguien piensa un número cualquiera. Entonces, propóngale multiplicar
este número por cualquier otro, que usted le indique y dividir el resultado de la
multiplicación por cualquier número, también dado por usted; a continuación, que
multiplique nuevamente el resultado obtenido por un tercer número indicado por usted, el
resultado de esta multiplicación que lo divida de nuevo por un cuarto número expresado por
usted y así sucesivamente. Se le puede conceder al que pensó el número que él mismo
multiplique y divida la cantidad pensada por los números que quiera, pero con la condición,
de que cada vez diga por cuál número multiplica y por cuál divide. Para averiguar el número
pensado, el "adivinador" deberá, al mismo tiempo, hacer las mismas operaciones con un
número por él elegido. Deteniéndose después en una división cualquiera, pídale que divida el
último número obtenido por el número inicial que él pensó. Exactamente lo mismo deberá
hacer el "adivinador", o sea, dividir el último número obtenido por el número inicial elegido
por él. De tal forma, obtendrá el mismo que el que juega con él. Después de esto, pídale al
que juega que añada al cociente de la división el número pensado y que lo diga el resultado.

Sustrayendo de dicho resultado el número, conocido por usted, obtendrá el número
pensado. ¿Por que?

Supongamos, por ejemplo, quo alguien pensó el número 5. Propóngalo multiplicarlo por 4;
el resultado (20) dividirlo por 2 (resultará 10), of número obtenido multiplicarlo por ti
(resultará 60), esta última multiplicación dividirla por 4 (resultará 15). Pero, al mismo
tiempo, usted también deberá elegir un número cualquiera y realizar con él las mismas
operaciones. Supongamos que usted ha elegido el 4 (en general el más cómodo es el 1).
Multiplicando por 4 obtiene 16; dividiendo por 2, multiplicando por 6, queda 48; dividiendo
este número por 4 tendrá 12. A continuación, le pide al que pensó el número que divida el
último número obtenido, es decir 15, por el número pensado (es decir, por 5). Obtendrá 3.

Si al mismo tiempo usted divide el último número obtenido, o sea 12, por el número que
eligió al principio, o sea 4, también obtendrá 3. Fingiendo no conocer el cociente que obtuvo
vuestro interlocutor de esta división, le pide que añada a dicho cociente el número pensado
y que le diga el resultado; claro que en este caso, le dirá 8. Sustrayendo de 8 el cociente 3,
obtenido por usted, hallará el número pensado por su amigo, o sea, el 5.




113. Adivinar varios números pensados


I. Supongamos que alguien piensa una serie impar de cualesquiera números, por
ejemplo, de 3, 5, 7. 9, etc. números y que le diga cuál es la suma del primero y segundo
números de la serie, después la suma del segundo y tercero, del tercero y cuarto,
etcétera y por fin la suma del último número de la serie con el primero.

Anotar esas sumas en el mismo orden que fueron expresadas y adicionar todas aquellas
que ocupan lugares impares (es decir, 1°, 3°, 5°, etc.) y después las que ocupan lugares
pares (es decir: 2°, 4°, 6°, etc.). Del primer resultado de la adición sustraer el segundo;
el resultado de esta resta le dará el duplo del primer número pensado. Tomando su
mitad obtendrá el primer número pensado. Conociendo este número, no será difícil hallar
los restantes, puesto que las sumas del primero con el segundo, del segundo con el
tercero, etc., son conocidas.

¿Por qué resulta así?

II. Si es que alguien piensa una serie par de números, lo mismo que en el problema
anterior, deberá decirle cuáles son los sumas de estos números de dos en dos (del
primero con el segundo, del segundo con el tercero, etc.,) pero el final deberá decirle no
la suma del último más el primero, sino del último más el segundo números. Después,
como en el caso anterior, se adicionan todas las sumas que ocupan lugares impares,
excepto la primera y, a continuación, las que ocupan los lugares pares. Del segundo
resultado de estas adiciones se resta el primero. La diferencia le dará el duplo del
segundo número pensado

¿Por qué?





114. Adivinar un número pensado sin hacer preguntas al que lo ha pensado.


Propóngalo a alguien que piense un número, después que lo multiplique por otro cualquiera
que usted le indique; al resultado que le añada otro número cualquiera dado por usted y que
divida este resultado de la suma por otro número cualquiera que también le propondrá. Al
mismo tiempo, divida de memoria el multiplicador por el divisor que le indicó. Cuantas
unidades y partes de unidades componen el cociente de dicha división, tantas veces
propóngale que reste el número que pensó del cociente de la división efectuada.

Después de realizar estas operaciones podrá inmediatamente decirlo a su interlocutor cuál
es el resto que obtuvo de la sustracción. Este resultado siempre será igual al cociente de la
división del número que le dio para añadir al producto de la multiplicación, por el divisor,
también indicado por usted.

¿Por qué?

Supongamos, por ejemplo, que alguien piensa el número 6; propóngale que lo multiplique
por 4, resultará 24; pídale que le añada 15, resultará 39. Después que divida lo obtenido por
3, con un resultado de 13. Dividiendo a un mismo tiempo de memoria 4 por 3 obtendrá 4/3
ó 1 1/3. Por lo tanto, propóngale al que pensó el número restar del cociente, que obtuvo de
la división, el número pensado más un tercio del mismo (o sea, seis más dos, en total ocho):
13 - 8 = 5, quedan 5. El mismo resultado se obtiene si divide el número 15 por el divisor 3,
ambos dados por usted.

Aquí este problema se plantea de una forma bastante generalizada. Con frecuencia se utiliza
un caso particular, o sea, se propone duplicar el número pensado, después añadir al
resultado cualquier número par, a continuación dividir la suma obtenida por 2 y del cociente
restar una vez el número pensado. Claro que el residuo siempre será igual a la mitad del
número par, antes añadido. No obstante, como es lógico, resulta más interesante resolver
estos problemas en su forma general. Tanto más que ello permite adquirir práctica en
operaciones con quebrados. Si por cualquier razón es indeseable obtener quebrados, para
evitarlo, siempre se pueden elegir tales números que de las operaciones no resulten
quebrados.




115. ¿Quién eligió el número impar?


Tenemos dos números, uno par y otro impar. A dos personas se les propone que elijan: una
el par y otra el impar a su gusto. Es preciso adivinar quién de ellas eligió el número par y
quién el impar.

Usted le propone, por ejemplo, A Piotr o Iván dos números (uno par y otro impar) digamos
10 y 9. Sin que usted lo sepa, uno elige el número par y otro el impar. Para averiguar qué
número eligió cada uno de ellos, también usted toma dos números, par e impar, por
ejemplo, el 2 y el 3. Propóngale a Piotr que multiplique su número por 2 sin pronunciar el
resultado y a Iván, por 3. Después pídales que sumen ambos productos y que le digan cuál
fue la suma obtenida. O que le comuniquen solamente si dicha suma es par o impar, ya que
para usted es importante saber sólo eso. Si desea hacer el problema más confuso, para
averiguar lo necesario puede utilizar otro procedimiento (proponiéndoles, por ejemplo,
dividir la suma obtenida por 2 y preguntándoles si se divide sin resto, etc.). Supongamos
que usted sabe que el resultado de la suma es par, entonces, está claro que el número
multiplicado por 3 es par, o sea, Iván eligió el número par, 10 y Piotr, el impar, 9. SI el
resultado de la suma es impar, entonces, también está que eligió el número impar aquél a
quién le propuso multiplicar por 3.

Argumente este procedimiento de averiguación.




116. El mismo problema con dos números primos entre si

Proponer a dos amigos elegir cualquier de dos números dados. Estos números deben ser
primos entre al como, por ejemplo, el 9 y el 7 y además uno de ellos tiene que ser no primo
(en nuestro caso, el 9). Los factores por los cuales desea multiplicar los números elegidos,
también deben ser primos entre sí y tales, que uno de ellos sea contenido una cantidad
entera de veces en uno de los números dados a elegir.

Por ejemplo, si se toman 3 y 2, entonces, estos números son primeros entre sí y, además, 3
es factor de 9. Después propóngale a uno de sus amigos que multiplique el número elegido
por 2, y al otro, por 3; que sume luego los resultados obtenidos y que lo diga, o la suma
obtenida, o si es divisible esta suma por aquel factor dado, contenido una cantidad entera de
veces en uno de los números propuestos, (en nuestro caso es preciso saber si la suma
obtenida se divide por 3). Después de saber esto, se puede inmediatamente determinar qué
número ha elegido cada uno de los dos amigos. Pues, es lógico que si la suma obtenida se
divide por 3, quiere decir que por 3 fue multiplicado el número no divisible por 3, o sea el 7,
y viceversa, si la suma obtenida no se divide por 3, el número multiplicado por 3 fue el 9,
divisible por 3. Exactamente lo mismo se procede en aquellos casos, cuando se toman y
proponen otros números, pero con la única condición de que dichos números satisfagan las
condiciones expuestas al principio.

Dar una explicación a este procedimiento de adivinación.






117. Acertar varios números pensados, si es que cada uno de ellos no es mayor que diez

Propóngalo al que pensó los números multiplicar el primero de ellos por 2 y al resultado
añadirle 5; multiplicar la suma obtenida por 5 y al resultado sumarle 10.

Al número resultante agregarles el segundo número pensado y
multiplicar la cantidad obtenida por 10; a este resultado añadirle el tercer número pensado y
otra vez multiplicarlo por 10; después sumar el cuarto número pensado y repetir la
multiplicación por 10 y así sucesivamente. En una palabra, si él pensó varios números no
mayores que diez, debe multiplicarlos sucesivamente por 10 y el producto sumarle por
orden uno de los números pensados, basta llegar al último. Después que le diga cual es la
última suma obtenida; si es que pensó sólo dos números, entonces, restando de esta última
suma 35 verá que la cantidad de decenas en el residuo da el primer número pensado y que
la cantidad de unidades, el segundo. Si los números pensados son tres, de la última -suma
que obtuvo es resta 350, entonces, la cantidad de centenas en el residuo da el primer
número pensado; la cantidad do decenas, el segundo, y la castidad de unidades el tercero.
Si los números pensados son cuatro, de la última suma que obtuvo se resta 3500, entonces,
la cantidad de miles en la resta da el primer número pensado; la cantidad de centenas, el
segundo; la cantidad de decenas, el tercero, y la cantidad de unidades, el cuarto. Es lógico,
que en el caso cuando los números pensados son cinco, de la última suma deberá restarse
35000 y así sucesivamente.

Supongamos, por ejemplo, que los números pensados son: 3, 5, 8, 2. Duplicando el
primero obtenemos 6; añadiéndole 5, resulta 11; multiplicando este resultado por 5,
tendremos 55; sumándole 10, obtenemos 65; agregando el segundo número pensado nos
da 70; multiplicando por 10, nos queda 700; sumando el tercer número pensado resultará
708; multiplicando este último por 10 obtenemos 7080; sumando el cuarto número
pensado resultará 7082. Si ahora de ella última suma restamos 3500 logramos un
resultado de 3582, que contiene, en orden sucesivo, los números pensados: 3, 5, R, 2.

Dar explicación a este procedimiento de averiguación.

Es lógico que este problema se pueda modificar adecuándolo a muchos casos particulares.

Así, por ejemplo, durante el juego a los dedos, utilizando la resolución de este
problema, se puede adivinar la cantidad de puntos que marca cada uno do los dados
tirados. Y esto aún es más fácil, ya que la cantidad de puntos en cada dado no es
mayor que seis. El procedimiento y reglas de averiguación son absolutamente los
mismos.


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En el Reino del Ingenio E. I. Ignátiev


Colaboración de Arturo Novoa

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Capítulo IX


Acertijos de números



________________________________




111.-

Dirigiéndonos a la solución del problema 109, hallamos que para los
números de la forma 4n, el resultado final del cálculo nos da 9n, o sea, un
número múltiplo de 9. Por consiguiente, la suma de las cifras de este número
debe dividirse por 9 y, por lo tanto, deducimos que la cifra, para nosotros
desconocida, es tal que sumándola con lea demás cifras conocidas, debemos
obtener un número divisible por n (o sea, múltiplo de 9). Si la suma de las cifras
conocidas a múltiplo de 9, entonces, la cifra desconocida también es 9, ya que
por las condiciones sabemos que no es cero.

Para números de la forma 4n + 1 el resultado de los cálculos es 9n + 3,
añadiéndole 6, obtenemos un número múltiplo de 9, o sea, es múltiplo de 9
también la suma de sus cifras.

Para números de la forma 4n + 2 el resaltado de los cálculos es 9n + 5;
añadiendo 4, obtenemos un número múltiplo de 9, por lo tanto, también la suma
de sus cifras debe ser múltiplo de 9.

Por último, para números de la forma 4n + 3 el resultado final de los cálculos
nos da 9n+8. Añadiendo 1, hallamos un número múltiplo de 9. La suma de sus
cifras también deberá ser múltiplo de 9.

En resumen, las reglas antes indicadas son correctas.






112.-

Si con cualquiera que sea número n se realiza una serie de multiplicaciones
y divisiones, se obtiene un resultado de la forma


n x abc.../ghk...

Si realizamos las mismas operaciones con el número p, obtenemos un resultado

De la forma


p x abc.../ghk...



Ambos resultados, divididos el primero por n y el segundo por p, nos darán,
lógicamente, un mismo número

abc.../ghk...


O sea, conociendo el número

abc/ghk

y la suma

abc/ghk + n

basta con sustraer el primero del segundo para obtener el
número n.


Está claro que este problema se puede presentar de diversas formas, ya que, en
primer lugar, se puede dividir y multiplicar por cualesquiera números y, en
segundo lugar, en vez de multiplicar y dividir alternativamente, se puede primero
multiplicar dos, tres, etc. veces consecutivas y luego otras tantas veces dividir, o
viceversa. Sabiendo el último cociente también se puede cambiar la suma por
resta, si es que el número pensado resulta menor que el último cociente
obtenido, o utilizar otras variantes.




113.-

I. Supongamos que los números pensados sola a, b, c, d, e. Tenemos dadas las
sumas a + b, b + c, c + d, d + e, e + a. Adicionando las sumas que ocupan
lugares impares, obtendremos a+ b + c + d + e + a y adicionando las que
ocupan lugares pares, b + c + d +e.
Sustrayendo de la primera adición la segunda, obtenemos 2a. La mitad de esta
cantidad corresponde al primero de los números pensados, a. Sustrayendo a de a
+ b, hallaremos b y así sucesivamente.

II. Supongamos que los números pensados son a, b, c, d, e, f. Tenemos dadas
las sumas a + b, b + c, c + d, d + e, e + f, f + b. Las sumas que ocupan lugares
impares, a excepción de la primera, nos dan c + d + e + f. Las sumas que
ocupan lugares pares, nos dan b + c + d + e + f + b. La diferencia entre esta
ultima adición y la anterior es igual a 2b; la mitad de esta cantidad corresponde
al segundo número pensado, b. Los otros números son ya fáciles de hallar.

Estos problemas también se pueden resolver mediante otros procedimientos, de
los cuales indicaremos los siguientes.

Supongamos que la cantidad de números pensados es impar.

Adicionando todas las sumas dadas y dividiendo el resultado obtenido en dos
mitades, hallamos la suma de todos les números pensados. Si se ha pensado una
cantidad par de números, entonces, adicionamos todas las sumas dadas, menos
la primera, el resultado lo dividimos en dos mitades y obtenemos la suma de
todos los números pensados, menos el primero. En este caso, sabiendo cual es la
suma de todos los números pensados, es fácil hallar cada número por separado.

Supongamos, por ejemplo, que se han pensado los números 2, 3, 4, 5, 6.

Entonces, las sumas dadas son: 5, 7, 9, 11, 8. Sumando estos números
obtenemos 40. La mitad de éste último (20) es, precisamente, la suma de todos
los números pensados.

Sabiendo ahora que la suma del 2° y 3° números pensados es 7 y que la suma
del 4° y 5° números es 11, sustraemos 7 + 11 = 18 de 20 y obtenemos el primer
número pensado 2, y así sucesivamente.

De la misma forma se debe obrar en aquellos casos cuando la cantidad de
números pensados es par.

Se pueden averiguar los números también de la forma siguiente. Si alguien pensó
3 números, pedirle que comunique el resultado de las somas de dos en dos
números conforme fue explicado antes, si pensó 4 números, solicitarle sumarlos
de tres en tres y que comunique cada suma; si pensó 5 números, pedirle que los
sume de cuatro en cuatro y que diga cada suma, y así sucesivamente. A
continuación, para averiguar los números pensados, es preciso atenerse a la
siguiente regla general.

Todas las sumas conocidas se deben adicionar y luego dividir el resultado de la
adición por un número en una unidad menor que la cantidad de números
pensadas. El cociente obtenido corresponde a la suma de todos los números
pensados. Después de esto, ya no es difícil hallar cada número por separado.

Supongamos, por ejemplo, que se han pensado los números 3, 5, 6, 8. Las sumas
de tres en tres números serán 3 + 5 + 6 = 14; 5 + 6 + 8 = 19; 6 + 8 + 3 = 17;
8 + 3 + 5 = 16. Adicionando todos los resultados de estas sumas, obtenemos 66.
Dividiendo este último resultado por 3 (es decir, por un número. en una unidad
menor que la cantidad de números pensados) obtenemos 22, lo que corresponde
a la suma de todos los números pensados. Si, ahora sustraemos 14 de 22,
obtenemos el último número pensado ( 8 ); sustrayendo 19, hallemos el primero
(3) y así sucesivamente. Comprender y demostrar este procedimiento no es
difícil.

Le dejamos el lector icon_eek.gif la demostración de que el caso cuando la cantidad de
números pensados es impar no se pueden tomar las sumas de estos números por
pares, de tal forma que la última suma está compuesta por el último y primero
números pensados, sino que obligatoriamente se deben sumar el último y
segundo números pensados.


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smile_021.gif





114.

Las operaciones que en este caso se realizan con el número pensado n se
pueden expresar de la siguiente forma: (na + b)/c, a su vez, esta expresión se
puede representar de la forma na/c + b/c. Es evidente que sustrayendo n(a/c),
obtenemos de reato b/c.




115.

El número que se multiplica por 2 siempre da un producto par. Por lo tanto,
la suma de los productos de ambas multiplicaciones puede ser par o impar en
dependencia a si es par o impar el producto de la otra multiplicación. Pero si el
número (multiplicado) se multiplica por un factor impar, entonces, el producto
será par, si es par el multiplicando e impar, si el multiplicando es impar. O sea,
por la suma de los productos de las dos multiplicaciones se puede saber si es par
o impar aquel número que se multiplica por un factor impar.




116.-

Supongamos que A y B son dos números primos entre si y que, a y c son
otros dos números también primos entre sí, además, A es múltiplo de a. Después
de realizar las multiplicaciones correspondientes puede resultar la suma Ac + Ba,
o bien, Aa + Bc. Es evidente que la primera es divisible por a, mientras que la
segunda, no. Por lo tanto, para saber si B fue multiplicado o no por a, basta con
determinar si se divide o no por a la suma obtenida por los participantes después
de realizar las correspondientes multiplicaciones y adiciones.




117. -

Supongamos que los números pensados son a, b, c, d.... Con ellos
realizamos las siguientes operaciones, con los dos primeros números:

(2a + 5) x 5 = 10a +25,
10a + 25 + 10 = 10a + 35
10a + 35 + b = 10a + b + 35

con el tercer número:

(10a + b + 35) x 10 + c = 100a + 10b + c + 350

con el cuarto número:

100a + 10b + c + 350) x 10+ d = 1000a + 100b + 10c + d + 3500


Y así sucesivamente.

De aquí queda claro que sustrayendo del resultado 35, 350, 3500, en
independencia a la cantidad de números pensados, obtenemos un residuo con
todos la números pensados, contando de izquierda a derecha.




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Capítulo X

Juegos con números y objetos

_____________________________

118. Obtener una unidad mediante tres cincos

Utilizando tres cincos y cualesquiera signos matemáticos, escribir una expresión igual a la unidad.

Si nunca ha probado solucionar problemas semejantes, tendrá que pensar bastante antes de hallar una solución correcta. He aquí la solución del problema ofrecido:

1 = (5/5)5

Tratar de hallar otras soluciones.

119. Obtener un dos mediante tres cincos

¿Cómo escribir una expresión igual a dos utilizando tres cincos?

120. Obtener cuatro mediante tres cincos

¿Cómo escribir una expresión igual a cuatro utilizando tres cincos?

121. Obtener cinco mediante tres cincos

¿Cómo escribir una expresión igual a cinco utilizando tres cincos?

122. Obtener cero mediante tres cincos

¿Cómo escribir una expresión igual a cero utilizando tres cincos?

123. Obtener 31 con cinco treses

¿Cómo escribir una expresión igual a 31 utilizando cinco treses?

124. Un billete de autobús

En un autobús su billete tiene el número 524127. Sin cambiar el orden de las cifras, probar de poner entre ellas signos matemáticos de tal forma que resulte una expresión igual a 100. Estos ejercicios son muy entretenidos y pueden ser un agradable pasatiempo en un viaje largo, si de la misma forma prueba obtener 100 con las cifras del número de vuestro billete. Viajando en grupo, se puedo apostar sobre quién lo logra primero.

125. ¿Quién dice el primer "cien"?

Dos individuos, por turno, pronuncian cifras arbitrarias no superiores a 10. Estas cifras se suman consecutivamente y gana aquél que alcance el primer cien.

Si, por ejemplo, el primero pronuncia "7" y el segundo "10" de la suma resultará "17"; si a continuación el primero pronuncia, digamos, "5", resulta "22", si el segundo, pronuncia, por ejemplo, "8" serán "30" y así sucesivamente. Ganará aquel que obtenga el primero "100". ¿Cómo obrar para, con seguridad, ser el primero en llegar a "cien"?

126. Generalización

El problema anterior se puede ofrecer también de la siguiente forma. Dos individuos pronuncian, por turnos, cifras arbitrarias, no superiores a un límite determinado. Estas cifras se suman consecutivamente y gana aquél que obtiene primero un número acordado de antemano. ¿Cómo hacer para alcanzar primero dicho número?

127. Formar grupos de a 2

Diez cerillas están colocadas en fila (fig. 57). Es preciso distribuirlas por pares (en total cinco) haciendo pasar cada cerilla por encima de dos seguidas (por ejemplo, la primera se pasa a la cuarta).

Imagen enviada

Figura 57

128. Formar grupos de a 3

Quince cerillas están colocadas en fila. Es preciso unirlas en 5 montoncitos, de tres cerillas cada uno, tomando cerilla por cerilla y haciendo pasar cada una de ellas por encima de tres seguidas.

129. Una pirámide de discos para niños

Tomemos ocho discos de madera o cartón grueso con diámetro decreciente y 3 palillos (varillas) fijados a una base en posición vertical. Los discos tienen un agujero en el centro, lo que permite colocarlos, comenzando por el mayor, en uno de los palillos A. Este juguete se llama pirámide de 8 pisos (fig. 58).

Imagen enviada

Figura 58

Se requiere trasladar la pirámide del palillo A al palillo B utilizando para ello un tercer palillo (I, II, III en nuestro dibujo) auxiliar y ateniéndose a las siguientes condiciones:

1) no trasladar más de un disco por vez;

2) el disco quitado deberá colocarse en un palillo libre o sobre un disco de mayor diámetro; en ningún palillo se permite poner un disco mayor encima de otro menor. Leyenda. Si en lugar de 8 discos tomamos 64 se nos planteará un problema relacionado con una leyenda hindú antigua. Según la misma, on la ciudad de Benarés en la cúpula del templo principal, en el lugar donde se encuentra el centro de la Tierra, el dios Brahma colocó sobre una placa de bronce tres varillas de diamante en posición vertical; cada una de ellas tiene un codo de largo y el grosor del cuerpo de una abeja. Durante la creación del Mundo, en una de estas varillas fueron colocados 64 d discos de oro puro cada uno con un agujero en el centro formando una especie de cono truncado, dado que los diámetros de los discos van en orden creciente comenzando desde arriba. Los sacerdotes del templo trabajan día y noche sin cesar, cambiándose unos a otros, con el afán de traspasar esta columna de discos

de la primera varilla a la tercera, utilizando para ello, la segunda como auxiliar y obligados a observar las siguientes condiciones:

1) traspasar un sólo disco por vez;

2) colocar el disco quitado en una varilla libre en dicho momento, o sobre un disco de mayor diámetro.

Cuando, observando estas condiciones, los sacerdotes consigan traspasar los 64 discos do la primera varilla a la tercera, comenzará el fin del Mundo...

130. Un juego interesante

Probar con vuestro amigo jugar el siguiente juego. Colocar sobre una mesa tres montoncitos de cerillas. Por ejemplo, de 12, 10 y 7 cerillas. El juego consiste en tomar, alternándose, cualquier cantidad de cerillas en los montoncitos, pero en un montoncito a la vez. Se pueden tomar de sola vez todas las cerillas de un montoncito. Gana aquél que tome las últimas cerillas. Veamos, como ejemplo, a jugarnos una partida. Uno de los jugadores será A y el otro B.

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La última jugada le toca al jugador A y gana. La pregunta consiste en lo siguiente: ¿puede A jugar de tal forma que siempre gane?

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Capítulo X

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Capítulo XI


El dominó


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RESPUESTAS AL CAPÍTULO XI







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Disponer en círculo o en fila 12 fichas negras y 12 blancas, de tal forma que comenzando a contar desde la primera ficha se retire del círculo o fila cada séptima ficha y que al final resulten retiradas todas las fichas blancas, mientras que las negras quedan en su sitio.


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#272 Ge. Pe.

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Continuamos el planteamiento de los problemas... 


 

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Publicado el 10 abril 2010 - 09:36



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EL REINO DEL INGENIO E.I. IGNÁTIEV

 

Colaboraciónde Arturo Novoa

 

Preparadopor Patricio Barros - Antonio Bravo

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Publicado el 23 abril 2010 - 01:26



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EL REINO DEL INGENIO


E.I. IGNÁTIEV


Colaboración de Arturo Novoa


Preparado por Patricio Barros - Antonio Bravo


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Para disponer las cifras, agregamos a cada letras la cifra correspondiente conforme a su orden (o sea a todas las A le añadimos 1; a todas las B, 2; a todas las C, 3, y a todas las D, 4) después traspasamos cada cifra a la casilla simétrica con relación a la diagonal (A, B, C, D). Como resultado obtenemos la fig. 192.


Esta distribución es la respuesta al problema planteado


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#280 Ge. Pe.

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Publicado el 09 mayo 2010 - 10:22

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Continuamos con



SOLUCIONES AL CAPÍTULO 14




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PROBLEMAS DEL CAPÍTULO XV

I. PARTE



  

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A continuación veremos que en estos casos el problema, sobre el paso por los puentes una sola vez, siempre tiene solución y que en último caso la ruta debe comenzar desde uno de los territorios impares.

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