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Matematicas - La razón de la organización decimal y otras alternativas para contar muchas cosas


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#1 Ge. Pe.

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Publicado el 11 marzo 2008 - 07:04




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Origen de los números


Desde los tiempos primitivos, el hombre ha sentido la necesidad de contar, ya fuera sus piezas de caza, sus utensilios o el número de miembros de su tribu. En este sentido cabe tal vez interpretar algunos vestigios antropológicos singulares, como las muescas ordenadas que aparecen incisas en algunas paredes rocosas o en los útiles prehistóricos.

Sistemas de numeración de las primeras civilizaciones


Desde el Neolítico, los sistemas de cómputo y numeración se fueron complicando y enriqueciendo progresivamente. Las grandes civilizaciones de la Antigüedad se distinguieron por un importante desarrollo de la aritmética y la geometría, que desembocó en la creación de sistemas de numeración sistemáticos.

Así, por ejemplo:

Los primeros signos numéricos egipcios conocidos datan de hace unos 7.000 años. Su método se basaba en agrupar los elementos de diez en diez, y asignar a cada grupo de diez un símbolo diferente.

Los babilonios utilizaban, hacia el año 1700 a. C., un sistema de numeración de base 60, enormemente complicado por la cantidad de numerales que consideraba.

La civilización grecolatina utilizó las letras del alfabeto como signos numerales. Su sistema de numeración contaba de diez en diez.

En América, la cultura maya usaba desde el siglo IV d. C. un sistema de numeración de base 20, en el que, por primera vez en la historia, se utilizó la noción de número cero.

En la India, se desarrolló un sistema de representación de números del que deriva el actual, que fue transmitido a Occidente a través de los árabes.





La numeración romana


El Imperio romano difundió en toda Europa, norte de África y Asia occidental su propio sistema de numeración, que todavía se utiliza en algunos contextos especiales. Este sistema, de base decimal, utiliza letras como símbolos de varias unidades elementales (I para 1;V para 5; X para 10; L para 50; C para 100; D para 500 y M para 1.000).

El sistema romano resultaba muy práctico para realizar sumas y restas, aunque no multiplicaciones y divisiones. Por ello, aun cuando se conserva para indicar ciertas cantidades (por ejemplo, años), desde el Renacimiento fue desplazado por el sistema indo-arábigo.


Símbolos indo-arábigos


La notación numérica usada universalmente en la actualidad procede de sistemas de numeración hindúes ya existentes hacia el siglo VI d. C. Estos sistemas ofrecían respecto de los utilizados en Europa dos ventajas sustanciales:
  • El concepto del número 0, que, aunque probablemente fue importado de las culturas mesopotámicas, se integró por primera vez en un sistema decimal junto con las otras nueve cifras del sistema. (La noción del cero había sido también desarrollada en América por la cultura maya.)

  • La asignación de un valor posicional a cada cifra, de manera que un mismo guarismo tenía un valor diferente según su posición global en la expresión de la cantidad numérica.
Este sistema fue adoptado por los árabes antes del siglo IX, y popularizado por los escritos de Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (h. 780-h. 850), autor del primer manual de aritmética inspirado en el sistema decimal posicional.

En el siglo XIII, las traducciones al latín de las obras de los matemáticos árabes hicieron posible que los sabios escolásticos medievales conocieran los principios del sistema numeral posicional. No obstante, fue el italiano Leonardo de Pisa quien, en su obra Liber abaci (1202), ofreció una exposición de las cifras hindúes en la que se sitúa el origen del sistema moderno de numeración.




La grafía de los numerales tomados del sistema de numeración indo-arábigo experimentó ciertos cambios desde su adopción en Europa en el siglo XII hasta su expresión actual.




El lenguaje universal de los números


Con respecto al sistema romano, el indo-arábigo proporciona indudables ventajas en el plano práctico y conceptual:

Se crea a partir de una notación sencilla, basada en el uso de diez guarismos, entre los que se incluye el cero, y conceptualmente rica, por la idea del valor posicional de los numerales.

Permite simplificar de forma muy notable las operaciones aritméticas de multiplicación y división, sin complicar las de suma y resta.

Resulta adecuado para los desarrollos de la matemática moderna.

Por todo ello, el sistema indo-arábigo se ha impuesto progresivamente en todas las culturas del mundo, hasta el punto de que en la actualidad constituye un lenguaje escrito universal comprendido por todos los seres humanos, que utiliza una misma grafía incluso en idiomas cuyos alfabetos son diferentes (latino, cirílico, alfabetos orientales, etcétera).


Símbolos griegos






Los griegos emplearon las letras del alfabeto como símbolos para contar, y utilizaban un apóstrofe para indicar que se trataba de números. Su sistema, al no ser posicional, entrañaba bastantes dificultades de escritura y cómputo; además, no contemplaba el cero.


Símbolos romanos



La numeración romana es bien conocida en occidente, y se sigue usando en contextos específicos, sobre todo para indicar años. Los símbolos que utilizaba eran los siguientes:




Leonardo de Pisa


El matemático italiano Leonardo de Pisa (h.1170- 1250), también conocido como Leonardo Fibonacci y Leonardo Pisano, introdujo en Europa el sistema de numeración indo-arábigo que, levemente modificado, se sigue utilizando. Este sistema se conocía en círculos restringidos de intelectuales europeos a través de las traducciones de los libros del matemático árabe del siglo IX al-Khwarizmi.


Notación exponencial


En el campo científico, en el que a menudo se utilizan cantidades enormemente grandes o pequeñas, se ha ideado una notación que permite expresarlas de forma abreviada. Esta notación, llamada exponencial o científica, indica la cifra más significativa de la cantidad, con sus decimales correspondientes, multiplicada por 10 elevado a un exponente que indica el orden de magnitud del valor indicado. Por ejemplo, 13.000.000 se expresa como 1,3 × 107, mientras que 0,00000013 se indica como 1,3 × 10-7.



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Publicado el 12 marzo 2008 - 03:39




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Sistemas de numeración


Es habitual que, cuando pensamos en las operaciones aritméticas, nos remitimos sólo al sistema decimal que se usa en la vida diaria. Sin embargo, existen otros muchos sistemas de numeración, algunos de los cuales forman parte también de las actividades cotidianas. Así, el sistema binario es básico en el funcionamiento de los ordenadores, y el sexagesimal se utiliza para medir los valores de los ángulos y el cómputo del tiempo de los relojes, entre otras tareas.


Elementos de los sistemas de numeración


En esencia, un sistema de numeración puede definirse como un conjunto de signos, relaciones, convenios y normas destinados a expresar de modo gráfico y verbal el valor de los números y las cantidades numéricas.

En la actualidad, se usan predominantemente sistemas de numeración de carácter posicional, donde cada numeral o guarismo representa un valor distinto según la posición que ocupa en la cadena numérica (por ejemplo, el numeral 1 significa unidad en la cantidad 1, pero es decena en 13, centena en 148, etcétera).

En un sistema de numeración se contemplan varios elementos fundamentales:

La base del sistema, que se define como un convenio de agrupación de sus unidades. Por ejemplo, la base 10 o decimal agrupa diez unidades, mientras que la binaria únicamente agrupa dos.
Los numerales del sistema, o cifras elementales que se utilizan, según la base. En el sistema decimal, se usan los numerales 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. En cambio, en el sistema binario tan sólo se emplean el 0 y el 1.

Las normas de combinación de los numerales para formar los números. Según ello, a cada cifra se le asocian dos propiedades: su valor absoluto intrínseco y su valor posicional o relativo, que depende de la posición que ocupa en la cantidad numérica.

Dado un número n escrito como la sucesión de numerales a0a1a2...an-1, an en la base b, puede descomponerse en forma polinómica del modo siguiente:








Nombre de las posiciones relativas en el sistema decimal.




El sistema decimal


El sistema decimal, el más utilizado en todos los ámbitos de la actividad humana, se distingue por las siguientes características:

Utiliza una base 10.

Sus numerales son las cifras del 0 al 9, ambas incluidas.

Las posiciones relativas de los números se denominan unidades, decenas, centenas, unidades de millar, decenas de millar, centenas de millar, unidades de millón, etc.

La forma polinómica de un número en el sistema decimal es la siguiente:




Por ejemplo, en esta forma, 3.892 se escribiría como 2 + 9 × 10 + 8 × 102 + 3 × 103.



El sistema binario


Utilizado por los ordenadores y otros tipos de dispositivos y sistemas, el sistema binario se caracteriza por emplear una base 2 y los numerales 0 y 1.

Este sistema, muy práctico para los cálculos automatizados con sistemas electrónicos digitales, es sin embargo un tanto engorroso en la escritura cotidiana, ya que la expresión de las cantidades resulta muy larga. Así, por ejemplo, el número 15 de la base decimal se expresaría en base binaria como 1111, según el esquema de descomposición mostrado




Expresión del número 15 en base binaria.




Cambios de base


Las equivalencias entre cantidades numéricas escritas en diferentes bases de numeración se obtienen habitualmente mediante una conversión intermedia a la base decimal.

Así, por ejemplo, para escribir 341(5 en base 4 se procedería del modo siguiente:

Se convertiría 341(5 a base 10.

Se transformaría el resultado decimal obtenido a base 4.

Para pasar un número de una base cualquiera a la decimal, se recurre a la forma polinómica. Por ejemplo:





Para transformar un número de base decimal a otra base, se divide por esta base tantas veces como sea necesario hasta obtener un resto menor que la base; después, se anotan como numerales el último cociente y, en orden inverso, los sucesivos restos obtenidos.



Expresión del número 96 en base 4.



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Origen del sistema decimal


El principal sistema de numeración usado modernamente tiene como base el número 10. Este sistema, llamado decimal, tiene un claro origen antropomórfico: diez es el número de los dedos de las manos, que se emplean intuitivamente para contar series simples de objetos.


Notación de los sistemas de numeración


La expresión de un número en un cierto sistema de numeración consta de dos informaciones complementarias: el valor del número en el sistema y, en subíndice y precedida de un signo de paréntesis de apertura, la base de dicho sistema. Por ejemplo, el número 100110(2 está escrito en base 2, mientras que 20(6 es una cantidad numérica escrita en base 6.

La base 10 se considera el valor por omisión, y no se suele indicar.


El sistema hexadecimal


Con el auge de la informática y de la lógica binaria, el sistema de numeración hexadecimal experimentó un gran auge al ser utilizado en los programas y los ordenadores. Este sistema tiene base 16 (interesante desde el punto de vista de la lógica binaria como potencia de 2, ya que 16 = 24). Los dígitos que utiliza normalmente son las cifras del 0 al 9 y, después, las letras A, B, C, D, E y F para denotar los guarismos décimo a decimoquinto.


Sistemas exóticos


A lo largo de la historia se han utilizado sistemas de numeración muy diversos. En las culturas más primitivas, tan sólo se distingue entre 1, 2 y muchos. Aunque en las civilizaciones más refinadas se optó en general por el sistema decimal, algunas de ellas, como la maya, eligieron un sistema de numeración de base 20. No obstante, el sistema maya destacó por su gran nivel de abstracción, ya que fue el primero en introducir la noción de cero y en usar un método posicional.


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Publicado el 21 marzo 2008 - 07:37




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Operaciones sencillas



Es posible que en algún momento hayas oído la expresión "estamos en números rojos", es decir, que el saldo de la cuenta bancaria está por debajo de 0 euros y por tanto se le debe dinero al banco. Se dice entonces que existe un saldo negativo en la cuenta, que se representa con un número entero, por ejemplo, -100 euros. También utilizamos los números enteros cuando expresamos temperaturas, por ejemplo, cuando hace mucho frío y la temperatura está bajo cero ("la mínima ayer fue de -2º C"), cuando bajamos a las plantas subterráneas de algunos edificios y en el ascensor pulsamos el botón -1, o cuando un submarinista se adentra en las profundidades del mar a -1.000 metros.


Los números enteros


El conjunto de números enteros se designa con la letra Z y está compuesto por:

Los números enteros negativos: Z- = {..., -4, -3, -2, -1}.

El número cero: 0.

Los números enteros positivos: Z+ = {... , 1, 2, 3, 4}.

Los números naturales se consideran números enteros positivos y van precedidos del signo positivo (+), aunque no es obligatorio utilizarlo y no suele escribirse. A cada entero positivo le corresponde un número entero negativo, precedido obligatoriamente por el signo negativo (-).



Si representamos los números enteros en una recta numérica, veremos que un número entero A es menor a otro número entero B si al representarlo se ubica a la izquierda del mismo.

El sentido positivo es el que va desde 0 hacia la derecha o hacia arriba y el sentido negativo el que va de 0 a la izquierda o hacia abajo. Existen una serie de reglas para la ordenación y comparación de números enteros:
  • Si los dos números enteros son positivos, es menor el que tenga menor valor absoluto: 4 < 8
  • Si los dos números enteros son negativos, es menor el que tenga mayor valor absoluto: -8 < -4
  • Si uno es positivo y el otro negativo, es menor el negativo: - 8 < 4
  • Todos los números negativos son menores que cero: - 8 < 0
  • Todos los números positivos son mayores que cero: 4 > 0
El valor absoluto


El valor absoluto de un número entero es el número de unidades que dista de cero. Por este motivo, la ordenación de los números enteros se realiza con respecto al 0. Así mismo, el valor absoluto también puede expresarse como el número natural que se obtiene tras suprimir el signo positivo (+) o negativo (-). Se expresa poniéndolo entre barras:


Número entero....Representación del valor absoluto......Valor absoluto

.........+5...............................|+5|..........................5
..........-5................................|-5|.......................... 5


Suma de números enteros


Si cogemos el ascensor de unos grandes almacenes en el 2º piso (+2) y subimos 3 pisos (+3), nos encontraremos en la planta 5ª (+5). Con este sencillo ejemplo vemos cómo, aunque no nos demos cuenta, utilizamos constantemente la suma de números enteros.

Se presentan varios casos de suma de números enteros:
  • Suma de números enteros positivos: se suman los valores absolutos de los números. Al resultado se le pone el signo positivo. (+3) + (+5) = (+8 )
  • Suma de números enteros negativos: se suman los valores absolutos de los números. Al resultado se le pone signo negativo. (-3) + (-5) = (-8 )
  • Suma de dos números enteros de distinto signo: se restan los valores absolutos. El signo será el que tenga el número de mayor valor absoluto. (+3) + (-8 ) = (-5)
Además, la suma de números enteros cuenta con algunas propiedades.


Resta de números enteros


Si cogemos el ascensor de unos grandes almacenes en el 2º piso (+2) y bajamos 3 pisos (-3), nos encontraremos en la planta -1 (-1). La resta que hemos realizado, 2 - 3 = -1, podemos convertirla en una suma de números enteros:

2 - 3 = -1 = 2 + (-3) = -1


Esto es porque sumamos a nuestro desplazamiento 3 pisos hacia abajo (movimiento descendente, representado con un número negativo).

Para restar dos números enteros se suma al minuendo el opuesto.

Por tanto, para restar números enteros:

7 - (-2) = 7 + op (-2) = 7 + 2 = 9



Combinación de sumas y restas


Cuando realizamos una operación con números enteros que combina sumas con restas usamos paréntesis para evitar que aparezcan dos signos seguidos:

2 + (-9) + (5 + 1) - (3 - 4)


Podemos actuar de dos maneras diferentes:
  • Eliminar todos los paréntesis, y sumar y restar normalmente.

  • Operar primero con los números que están dentro de los paréntesis y eliminarlos después.
En ambos casos tenemos que suprimir los paréntesis, operación que varía en función del signo que lo precede.
  • Cuando el paréntesis va precedido del signo negativo (-). Para suprimirlo hay que cambiar el signo a todos los números que hay dentro de él. (5 + 1) - (3 - 4) = (5 + 1) - 3 + 4

  • Cuando el paréntesis va precedido del signo positivo (+). El paréntesis se puede suprimir sin alterar el signo de los números que hay dentro de él. (5 + 1) - (3 - 4) = 5 + 1 - (3 - 4)
Pero a veces los paréntesis están, a su vez, dentro de otros a los que llamamos corchetes.


Cálculo con corchetes


Los corchetes son paréntesis que tienen esta forma: [ ]. Se utilizan cuando en una operación matemática hay más de un paréntesis, unos dentro de otros.

Por ejemplo, 10 - [8 - (5 - 2) + (-2 + 3)] + 1

Podemos calcular esta operación con corchetes de dos formas:

Primera

Se hace la operación del interior del paréntesis.
Se hace la operación del interior del corchete. 10 - [8 - 3 + 1] + 1 = 10 - [6] + 1 = 5



Segunda

Se suprimen los paréntesis.
Se suprimen los corchetes. 10 - [8 - 5 + 2 - 2 + 3] + 1 = 10 - 8 + 5 - 2 + 2 - 3 + 1 = 5


Al quitar un corchete precedido de un signo negativo (-) hay que cambiar todos los signos de los números que hay dentro de él.


Multiplicación con números enteros


Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos. El signo del producto será positivo si los factores tienen el mismo signo y negativo si los signos son distintos.

La multiplicación se representa con el signo × (equis) o con el signo · (punto). En esta tabla tienes las combinaciones de signos posibles en los resultados de la operación multiplicación de números enteros.


Regla de los signos del producto
+........x...........+...........=...........+
-.........x............-...........=...........+
+........x............-...........=...........-
-.........x...........+............=..........-



Algunos ejemplos de estos productos son:

(+8 ) · (+2) = + 16 (- 8 ) · (- 2) = + 16 (+8 ) · (- 2) = - 16 (- 8 ) · (+2) = - 16


El producto de números enteros cumple las mismas propiedades que el producto de números naturales.

El matemático y astrónomo Brahmagupta fue el primero en utilizar los números negativos y, además, enunció las cuatro operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación y división). Este matemático realizaba las operaciones básicas con lo que él llamaba "bienes" (números positivos), "deudas" (números negativos) y "la nada" (el cero).





Propiedades del producto de números enteros
  • Propiedad conmutativa.El orden de los factores no altera el producto. Ejemplo: (a) · (b) = (b) · (a)

  • Propiedad asociativa. Los factores de un producto de números enteros pueden asociarse de diferentes formas. Ejemplo: (a) · [(b) · ( c )] = [(a) · (b)] · ( c )

  • Elemento neutro. El producto de cualquier número entero por 1 es el mismo número. Ejemplo: (a) · 1 = (a)

  • Propiedad distributiva respecto a la suma o la resta. Para multiplicar una suma o una resta por un número, se multiplican cada uno de los términos de la suma o de la resta por ese número y, a continuación, se suman o se restan los resultados. Ejemplo: a · (b + c ) = a · b + a · c
División con números enteros


Para dividir dos números enteros se dividen primero sus valores absolutos y al cociente se le pone signo positivo (+) o negativo (-), según tengan el dividendo y el divisor igual o diferente signo.

La división se representa con el signo / , con el signo dos puntos o con el signo ÷.



Regla de los signos del producto
+............/............+..............=...........+
-............./.............-..............=...........+
+.........../..............-..............=............-
-.........../...............+.............=............-




La división de números enteros no cumple la propiedad conmutativa del producto, es decir, no se puede cambiar el lugar del dividendo y del divisor.

Pero tiene otras propiedades:
  • El número 1 actúa como elemento neutro. Cualquier número entero dividido entre 1 dará el mismo número:(+8 ) / (+1) = 8(-9) / (+1) = -9

  • No se puede dividir entre 0, pues no hay ningún número que, al multiplicarlo por 0 (que sería el divisor) nos dé algo distinto de cero (que sería el dividendo).

  • El cociente de dos números enteros no siempre es un número entero. Sabemos que el producto de dos números enteros da lugar a un número entero, pero no ocurre lo mismo en la división.

    ¿Por qué? Veamos un ejemplo: (-2) / (+4) = ¿? No hay ningún número entero que al multiplicarlo por (+4) nos dé (-2).
Jerarquía de las operaciones


Cuando se realizan operaciones combinadas con números enteros, es decir, cuando tenemos a la vez suma, resta, multiplicación o división, no podemos realizarlas de forma arbitraria. Aunque no es obligatorio, se suele empezar a operar por la izquierda. Pero si existe una jerarquía de las operaciones que debe respetarse, y es la siguiente:
  1. Si hay paréntesis y corchetes, primero se resuelven las operaciones que hay en su interior.
  2. Se realizan las multiplicaciones y divisiones.
  3. Se realizan las sumas y restas.
Veamos un ejemplo para comprenderlo mejor:
  1. -4 · 2 + (-3) · 7 - (2 + 2). Primero se resuelve el paréntesis.
  2. -4 · 2 + (-3) · 7 - 4. Después se realizan las multiplicaciones.
  3. -8 + (-21) - 4. Finalmente se resuelven las sumas y las restas. El resultado es -33.



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Robert Recorde

El inglés Robert Recorde (1510-1558), profesor en las universidades de Oxford y de Londres, fue quien utilizó por primera vez el signo igual (=).

Lo hizo en su obra La agudeza del ingenio, escrita en 1557, y, ya que sus líneas eran mucho más largas que las que utilizamos actualmente, afirmaba que "dos cosas no pueden ser más iguales que dos rectas paralelas".



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#4 Ge. Pe.

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Publicado el 26 marzo 2008 - 02:40





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Regla de Tres




La regla de tres es un instrumento muy sencillo y útil al mismo tiempo. Consiste en una sencilla operación que nos va a permitir encontrar el cuarto término de una proporción, de la que sólo conocemos tres términos. Así, por ejemplo, nos permite saber cuánto cuestan dos kilos de patatas si el cartel del mercado marca el precio de un kilo, o calcular el precio de 150 bolígrafos si la caja de cinco unidades vale 60 céntimos de euro. Además, la regla de tres nos va a permitir operar al mismo tiempo con elementos tan distintos como horas, kilómetros, número de trabajadores o dinero invertido.

Preguntas Interactivas:

http://www.hiru.com/.../test_es_des_01
http://www.hiru.com/.../test_es_do1_02





Las proporciones


Una proporción es la igualdad entre dos cocientes (a / b = c / d). Cuando dos cocientes son iguales, el producto de los extremos (a y d) es igual al producto de los medios (b y c); por tanto, en la proporción se cumple que: a · d = b · c.

Se dice que dos magnitudes son proporcionales cuando su cociente se mantiene constante, es decir, si una de las dos magnitudes aumenta o disminuye, la otra magnitud también aumentará o disminuirá en la misma medida. Por ejemplo, cuantos más kilómetros haga un coche, más combustible gasta y, por tanto, se dice que ambas magnitudes son proporcionales (cociente constante).

La regla de tres se utiliza para calcular valores desconocidos de magnitudes proporcionales. Las operaciones con las que se resuelve son muy sencillas: la multiplicación y la división. Lo realmente importante es saber plantear la regla de tres.




Determinación del cuarto término


Es una operación que nos sirve para calcular uno de los términos de una proporción conociendo los otros tres. Se llama supuesto a la parte del problema que conocemos e incógnita a la que debemos calcular.

Para poder plantear la relación de proporción es necesario que los términos a y b pertenezcan a una misma magnitud y que los términos c y d pertenezcan a otra magnitud, pero relacionada con la anterior.

Esta relación se expresa matemáticamente asi: a / b = c / d.


Veámoslo con un ejemplo:

Queremos saber cuánto nos costarán 1.356 bolígrafos si una caja que contiene 10 bolígrafos cuesta 3 euros. El número de bolígrafos sería una magnitud (a = 10 bolígrafos y b = 1.356 bolígrafos) y el dinero sería la otra magnitud (c = 3 euros y d = x euros). De esta forma, si 10 bolígrafos cuestan tres euros, 1.356 bolígrafos nos costarán x (la incógnita que debemos averiguar). Así, la relación de proporción que se plantea es: 10 / 1356 = 3 / x.





La regla de tres simple


La relación entre ellas puede ser: directamente proporcional, si cuando una de ellas aumenta la otra también (a más tiempo trabajado, más dinero ganado); o inversamente proporcional, si cuando una aumenta la otra disminuye (más tiempo trabajado, menos tiempo de ocio).

Una de las formas de plantear la regla de tres es mediante el método tradicional. Si de a tenemos b, entonces de c tendremos d:



Si la relación entre las dos magnitudes es directamente proporcional, para resolver la regla de tres multiplicamos "en cruz", es decir:



a · d = c · b



Si la relación es inversamente proporcional, multiplicamos "por filas", es decir:




a · b = c · d


Por ejemplo, si Jon compró 15 cromos por 60 céntimos, ¿cuánto le costarán a Miren 25 cromos?

Si por 15 cromos pagamos 60 céntimos por 25 cromos pagaremos x céntimos. La relación de proporción que se plantea será entonces:



Para resolver multiplicamos "en cruz" y tenemos que 15 · x = 25·60. Por lo que x = 25 · 60 / 15 = 100 céntimos = 1 euro. Es decir, 25 cromos cuestan 1 euro.


Otros métodos de cálculo




La regla de tres mediante proporciones


Otra forma de resolver una regla de tres es mediante las proporciones. Una proporción es la igualdad entre dos cocientes: (a / b = c / d).

Aplicando las proporciones al cálculo del cuarto término, o incógnita, de una regla de tres tendríamos: (a / b = c / x).

Como el producto de los extremos (a y x) es igual al producto de los medios (b y c), a · x = b · c, de donde obtendríamos el valor de la incógnita o cuarto término.

El ejemplo de los cromos que aparece en la pantalla anterior (la regla de tres simple) también podemos resolverlo mediante las proporciones: (15 cromos / 25 cromos) = (60 céntimos / x céntimos)

Luego 15 · x = 60 · 25, de donde x = 60 · 25 / 15 = 100 céntimos = 1 euro.


La regla de tres reduciendo a la unidad


Con este método lo que buscamos es que una de las razones (a, b, c ó d) sea 1 para simplificar los cálculos.

Siguiendo con el ejemplo anterior, si por 15 cromos Jon pagó 60 céntimos, por un cromo pago: 60 / 15 = 4 céntimos. Como queríamos saber cuánto le habría costado comprar 25 cromos, tendremos que multiplicar 25 · 4 = 100 céntimos, o, lo que es lo mismo, 1 euro. En este ejemplo, hemos calculado el precio de un cromo para poder calcular el precio de cualquier número de cromos tan sólo multiplicando el precio unitario por el número de cromos comprado.


La regla de tres compuesta


Cuando aparecen más de dos tipos de magnitudes distintas, nos enfrentamos a un problema que se puede resolver mediante una regla de tres compuesta.

Como casi todo en la regla de tres, la solución es en la práctica muy sencilla: descomponer en reglas de tres simples, teniendo en cuenta que pueden ser directa o inversamente proporcionales.

Veamos un ejemplo:

Koldo compra al carpintero de su barrio 3 mesas por 285 euros. Si sabemos que en hacer una mesa el carpintero tarda 3 horas, ¿cuántas horas habrá trabajado el carpintero si Koldo se gasta 950 euros en mesas?

Para resolverlo, calculamos cuántos euros cuesta cada mesa (285 / 3 = 95 euros).

Luego, hallamos cuántas mesas nos dará el carpintero por 950 euros (950 / 95 = 10 mesas). Y por último calcularemos cuántas horas tarda el carpintero en fabricar las mesas por las que Koldo ha pagado los 950 euros (10 mesas · 3 horas que tarda en cada una = 30 horas). Por tanto, para recibir los 950 euros de Koldo, el carpintero ha tenido que trabajar durante 10 horas.

Al utilizar el método tradicional, es más rápido plantear todas las reglas de tres simples a la vez.


La regla de tres compuesta directa


La forma tradicional en la regla de tres compuesta se puede simplificar si utilizamos el método directo en lugar de descomponer en pequeñas reglas de tres simples, ya que el planteamiento es inmediato. Debemos recordar que hay que multiplicar "en cruz" si la relación entre las magnitudes es directamente proporcional o "en fila" si la relación es inversamente proporcional.

Un ejemplo podrá ser el siguiente: para construir 0,5 km de autopista, 45 operarios han empleado 10 días trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántos días tardarán 60 operarios trabajando 9 horas al día en construir 2,7 km más de autopista?



Las relaciones que existen entre las magnitudes del problema son las siguientes:

a más trabajadores menos días (inversa), a más horas menos días (inversa) y a más kilómetros más días (directa). Y por tanto:

Porque

2,7 · 45 · 10 · 8 = 0,5 · 60 · x · 9

x = (2,7 · 45 · 8 · 10) / (0,5 · 60 · 9) = 9.720 / 270 = 36 días.



La regla de tres en la resolución de problemas


Existen muchas operaciones que diariamente realizamos y en las que aplicamos reglas de tres sin ser conscientes de que lo estamos haciendo..

Los casos o situaciones en los cuales aplicamos reglas de tres o porcentajes son muy diversos.
  • Descuentos en los precios de artículos o incrementos.

  • Cálculo del IVA de los productos.

  • Cálculo de interés simple y compuesto.

  • Cálculo del índice de precios al consumo.


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Medición de las pirámides

Aunque los egipcios fueron capaces de construir las pirámides, no sabían cuánto medían. Cuando Tales de Mileto visitó Egipto, le preguntaron si él podía hacerlo.

El sabio griego cogió una vara y midió la proporción entre la vara y su sombra. A continuación, midió la sombra de la pirámide y, con una sencilla regla de tres, halló la altura de la construcción.



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Cálculo mental



Todos alguna vez hemos sumado y restado utilizando los dedos. Pero está claro que este sistema no es precisamente el más rápido. Si nos acostumbramos a realizar operaciones sencillas sin utilizar la calculadora, observaremos cómo vamos progresando satisfactoriamente en otras más complicadas. Nuestra mente se volverá así más ágil a la hora de resolver otros tipos de situaciones que necesitan de una respuesta rápida.

No es necesario papel ni calculadora, sólo pensar. Las reglas de cálculo son muy sencillas, es una cuestión de práctica y concentración.


Desarrollo del cálculo mental


Es posible que te hayas encontrado en algún momento con esta situación: estás en el supermercado y quieres saber si llevas suficiente dinero para pagar la compra, pero no tienes una calculadora. No necesitas saber con exactitud cuánto llevas gastado, bastaría con una aproximación. Esta situación puede ser resuelta de forma rápida utilizando el cálculo mental.

Es posible conseguir resultados rápidos y sorprendentes con estas sencillas indicaciones:
  1. Utilizar las tablas de multiplicar y la forma en que se realizaban las sumas en nuestra primera etapa escolar.

  2. Repasar dichas tablas unas cuantas veces hasta que se hayan recordado y realizar sumas desde las más sencillas a las más complicadas.

  3. Adquirir unos mínimos conocimientos matemáticos, ya que a veces puede ser necesario descomponer números complicados en otros más sencillos que faciliten el cálculo.

  4. Utilizar el sentido común en estas situaciones.


Las bases de la operación suma


Las reglas para realizar mentalmente una suma parecen complicadas. Pero si las lees detenidamente verás que muchas ya las conoces.
  • Conmutatividad. Es más sencillo sumar el número mayor con el menor que el menor con el mayor (6 + 3 y no 3 + 6). Y debido a esta propiedad de la suma, el resultado es el mismo.

  • Conteo ascendente. Es más fácil contar de dos en dos o de tres en tres. Prueba a contar las monedas que llevas de esta forma.

  • Dieces. Para sumar 10 a un número de una cifra, añadimos un 1 a la izquierda de dicho número.

  • Dobles. Al sumar dos cifras iguales, doblamos el número.

  • Dobles más uno. 57 + 58 se suma más fácil doblando el 57 (114) y añadiéndole 1, operación que da 115.

  • Número misterioso. Para sumar dos números casi consecutivos, como 7 y 9, doblamos el número intermedio. Es decir, 8 + 8 = 16.
  • Los nueves. Para sumar 9 a cualquier número, sumamos 10 y restamos uno.

  • La familia del 10. Para sumar muchos números, es más sencillo comenzar emparejando los que sumen diez.

  • Buscando el diez. En una suma, descomponemos uno de los números para poder llegar a diez con el otro sumando.


La tabla de multiplicar


Al igual que con la suma, sólo tendrás que recordar unas reglas que ya aprendiste cuando estudiabas en el colegio.

  • Conmutar: si sabes cuánto es 7 · 8 sabrás cuánto es 8 · 7. Escoge la opción que te resulte más fácil.

  • Doblar: multiplicar por dos es lo mismo que sumar el número dos veces.

  • Añadir un cero: si tienes que multiplicar un número por diez, añádele un cero a su derecha ¡y ya está!

  • Doble y mitad: si tenemos, por ejemplo, 25 · 14, es más fácil doblar el 25 y después dividir entre dos 14. Es decir, 50 · 7 = 350.

  • Cero y mitad: si tienes que multiplicar un número por 5, simplemente multiplícalo por diez y divídelo entre dos.

  • Descomposición: si los números son de varias cifras, es más rápido descomponer uno de ellos en sumas o restas de números más pequeños. Por ejemplo, 57 ·13 equivale a (57 · 10) + (57 · 3).

  • Patrones: los resultados se memorizan porque son curiosos o chocantes.


Multipliquemos con los dedos de las manos


Todos alguna vez hemos contado con los dedos de las manos. Pero lo que no todos saben es que también se puede multiplicar de una forma rápida y segura con ellos. Si te resulta difícil multiplicar a partir de número 5, sólo tienes que seguir las indicaciones que aparecen a continuación.

Asignamos a cada dedo un valor: desde el 6 para el pulgar hasta el 10 para el meñique.

Con los pulgares hacia arriba, juntamos los dedos que corresponden en cada mano a cada uno de los números que queremos multiplicar. Mentalmente, asignamos a los dedos unidos y a los que queden por encima de los unidos el valor 10, y los sumamos. Contamos el número de dedos que quedan por debajo de los dedos unidos, el número de dedos en la mano derecha y el número de dedos en la izquierda. Se multiplican estos números y se suma el resultado de esta multiplicación a la cifra obtenida anteriormente.

Como posiblemente te habrás hecho un lío, pincha sobre el siguiente ejemplo para verlo mucho más claro.


Sumas rápidas o cálculo pensado aditivo



Para calcular sumas de forma rápida existen varios métodos:

  • Redondeo: buscamos que uno de los números acabe en cero mediante sumas y restas. Ejemplo: 57 + 38 = (57 + 3) + (38 - 3) = 60 + 35 = 95

  • Conteo: sumamos progresivamente a uno de los números, de izquierda a derecha, el otro; es decir, lo último que sumaremos serán las unidades, antes sumaremos las decenas, antes las centenas... Ejemplo: 283 + 435 = (283 + 400) + 35 = 683 + 35 = (683 + 30) + 5 = 713 + 5 = 718

  • Recolocación: agrupamos los números cuyas unidades sumen diez. Es más fácil sumar números que acaban en cero. Ejemplo: 57 + 86 + 53 + 34 = (57 + 53) + (86 + 34) = 110 + 120 = 230

  • Descomposición: separamos los sumandos en otros fáciles de sumar, intentando que acaben en cero o que sumen diez. Ejemplo: 77 + 148 = 70 + 7 + 140 + 8 = (70 + 140) + (5 + 3) + 7 = 210 + (3 + 7) + 5 = 225

Estas mismas reglas sirven también para la resta, ya que esta operación es la inversa de la suma.


Cálculo pensado multiplicativo


Para calcular el resultado de una multiplicación podemos recurrir a algunos métodos que nos ayuden a hacerlo más rápidamente:
  • Imagina que coges un lápiz y un papel, y representa mentalmente la operación.

  • Utiliza el Método de la distribución, que consiste en descomponer uno de los factores en una suma de otros más sencillos. Ejemplo: 8 · 4.211 = 8 (4.000 + 200 + 10 + 1) = 32.000 + 1.600 + 80 + 8 = 33.688





    Utiliza el Método de factorización, que consiste en transformar cada factor en pequeños productos de números más sencillos. Ejemplo: 25 · 48 = (5 · 5) · (6 · 8 ) = (5 · 8 ) · (5 · 6) = 40 · 30 = 1.200


Estos mismos trucos se pueden aplicar también a la división, ya que esta operación se puede expresar como una multiplicación.


Resultados aproximados


Cuando nos interesa más obtener un resultado de forma rápida que la exactitud del cálculo en sí mismo, podemos recurrir a dos técnicas que nos dan resultados aproximados. Eso sí, hay que tener en cuenta que conllevan un error que será mayor cuanto más nos alejemos de las cifras reales.
  • Redondeo: consiste en sustituir cifras por ceros. Para entenderlo, vamos a calcular el sueldo anual de un trabajador que cobra 1.207,75 euros al mes. Si multiplicamos 1.200 euros por 12 meses, obtendremos el resultado aproximado de 14.400 euros anuales, aunque la cifra real que esta persona percibe es de 14.493 euros.

  • Truncamiento: con esta operación eliminamos decimales, que siempre dificultan la operación del cálculo matemático. Supongamos que Iñaki utiliza la calculadora para saber lo que se gastarán él y su mujer Ainhoa en la compra doméstica. Ella lo va calculando mentalmente: tiene en cuenta que si los céntimos son inferiores a 50 suma los euros que marca el precio, y si los céntimos son 50 o más añade un euro al precio.

Antes de pasar por caja, Ainhoa le dice a su marido que la compra les costará unos 55 euros ¡y sin calculadora! Iñaki mira el resultado en la pantalla y observa sorprendido que el resultado son 54,68 euros. Así por ejemplo, si han comprado dos productos de 48,56 y 6,12 euros respectivamente (54,68 euros en total), Ainhoa ha podido calcular de forma aproximada que van a costar un total de 55 euros (49 + 6).









Interactivos

Multiplicación con los dedos

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Cálculos:

http://www.hiru.com/.../test_es_f11_01


http://www.hiru.com/...l/test_es_as_02


Genial la página !!!!!!!!!

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Superficies



Cuando nos preguntamos qué extensión tiene un campo de fútbol, cómo es de grande mi casa o cuánto mide la mesa en la que estudio, lo que queremos saber es cuál es su superficie. Para esto, lo que hacemos es tratar al espacio como una forma geométrica llamada polígono.

Un polígono es una figura geométrica plana y cerrada, que se forma al unir tres o más segmentos rectilíneos llamados lados. Los polígonos se clasifican en regulares e irregulares.

Su extensión ocupa una determinada superficie, que se puede medir de diferentes formas.




¿Qué es la superficie de un polígono?

Llamamos área o superficie de un polígono a la región interior del plano delimitada por sus lados. A menudo, nos interesa conocer lo que mide el área o superficie de un polígono.

La unidad de medida de cualquier superficie en el sistema internacional (SI) es el m2 (metro cuadrado), según el sistema métrico decimal. En el siguiente cuadro podemos ver otras formas de expresar la medida de una superficie, en función de múltiplos y submúltiplos del m2 .






Puesto que ya conocemos la unidad de medida que tenemos que utilizar, a continuación veremos cómo se mide la superficie de un polígono. Éstos se dividen en:
  • Regulares: aquellos que tienen todos sus lados y ángulos iguales.

  • Irregulares: aquellos que tienen al menos un lado o ángulo desigual.

Área del paralelogramo






Área del rectángulo

Para calcular el área de un rectángulo multiplicamos su base por su altura.

A = o · h




Área del cuadrado

Como un cuadrado es un polígono regular que tiene todos sus lados iguales, la longitud de su altura y su base coinciden. Para hallar el área del cuadrado, entonces, se multiplica el lado por sí mismo.

A = l · l = l2




Área del romboide y rombo

El área de un romboide se obtiene multiplicando su base por su altura.

A = o · h




Área del triángulo


El triángulo es un polígono de tres lados, y, por tanto, es el polígono más elemental. El área de un triángulo se obtiene al dividir entre dos el producto de su base por su altura.







En el caso particular de un triángulo rectángulo, el área es igual al producto de los catetos dividido entre dos. Un cateto es cada uno de los dos lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto. La hipotenusa es el lado de un triángulo rectángulo opuesto al ángulo recto. Es el mayor de los tres lados de este triángulo.

Según el teorema de Pitágoras, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Esto nos sirve para calcular la medida desconocida de cualquier lado de un triángulo rectángulo, conocidos los dos.

h2 = k2 + k2



Área del trapecio y del trapezoide




Un trapecio es un polígono de cuatro lados en el que dos de sus lados son paralelos. Un trapezoide es un polígono en el que ninguno de sus lados es paralelo, como por ejemplo, la clásica cometa.


El trapecio

El área de un trapecio es igual a la mitad del producto de la suma de sus bases por su altura.




O = base mayor

o = base menor

h = altura




El trapezoide


El trapezoide, cuadrilátero cuyos lados no son ni iguales ni paralelos, se descompone en tres polígonos: dos triángulos y un trapecio. Así, su área será igual a la suma de las áreas de los dos triángulos más el área del trapecio.






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Panales de abejas

Aunque parezca sorprendente, las abejas construyen sus panales de miel formando paredes a base de pequeños huecos de forma hexagonal. Cada hueco, donde elaboran la miel, tiene la forma de un perfecto hexágono regular.

Los matemáticos han estudiado el caso y han llegado a la conclusión de que al utilizar este polígono, las abejas no sólo aprovechan al máximo el espacio de la colmena sino que también gastan la mitad de cera que si las construyeran formando cuadrados o triángulos.




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Publicado el 01 abril 2008 - 11:28




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Continuación del post anterior... (sobrepase el No de imágenes permitido en un solo post

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Área de los polígonos regulares de más de cuatro lados


En un polígono regular, si de su centro se trazan segmentos a cada uno de sus vértices, se forman tantos triángulos iguales como lados tenga el polígono.



El área de un polígono regular de más de cuatro lados será igual al área de un triángulo multiplicada por el número de lados.




El área de cada triángulo es el producto del lado del polígono por la apotema, partido por dos. La apotema es la distancia entre el centro de un polígono regular y el punto medio de cualquiera de sus lados.

a = apotema


Si el polígono tiene n lados, se forman n triángulos. Entonces,



Por tanto, el área de un polígono regular de más de cuatro lados será igual al área de cada triángulo formado multiplicada por el número de lados: (que coincide con el número de triángulos formados en el interior del polígono)



p = perímetro

a = apotema




Área de los polígonos irregulares





  • Para hallar el área de los polígonos irregulares los descomponemos en figuras equivalentes con áreas conocidas o fáciles de determinar.

  • Cualquier polígono, regular o irregular, puede descomponerse en triángulos. Es lo que se llama triangulación. El número de triángulos resultante siempre es dos veces menor que el número de lados del polígono.

  • Por lo general, los polígonos irregulares de más de cuatro lados se descomponen en triángulos y su área es el resultado de la suma de las áreas de todos sus triángulos.

  • Pero los polígonos irregulares se pueden descomponer en otros polígonos diferentes, sin necesidad de que todos sean triángulos.


Área del círculo





Un círculo es la parte de plano delimitada por una circunferencia. Una circunferencia es una curva cerrada y plana cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro punto llamado centro.

El área de un círculo es igual al número P (pi) por el cuadrado del radio, siendo el radio un segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.


A = P · r2



El numero P es una noción fundamental en geometría. P es la decimosexta letra del alfabeto griego, que se utiliza como un número real en aritmética. Indica la relación entre la longitud de una circunferencia y su radio.

Es un número decimal ilimitado no periódico. Esto quiere decir que sus decimales no acaban nunca. La búsqueda de estos decimales ha apasionado a los matemáticos a lo largo de toda la historia. El primero en intentarlo fue el griego Arquímedes, quien halló los cuatro primeros.

Actualmente, a través de sencillos algoritmos y con la ayuda de potentes ordenadores, se conocen más de 6.000 millones de decimales. Aunque aquí no nos cabrían todos, veamos unos pocos:

P = 3.141592653589793238...


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Pitágoras y los pitagóricos
  • Pitágoras fue un matemático y filósofo griego.
  • Nació en Samos, en el año 570 a.C. y murió en 480 a.C., en Metaponte.
  • Durante su vida se rodeó de numerosos discípulos, a los que se llamaron "pitagóricos".
  • Los pitagóricos formaron una asociación científica, filosófica, religiosa y política que se dedicó al estudio de las matemáticas, la fisiología, la música, la medicina y la astronomía.
  • Los pitagóricos pensaban que el número era el principio de todas las cosas.

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Números naturales y enteros



Los conjuntos de los números naturales y enteros son los más próximos a la realidad humana inmediata, los que se usan en las operaciones sencillas de suma, resta y multiplicación. En esencia, los números naturales se emplean para contar los objetos de un conjunto, mientras que los enteros (que son los naturales más el cero y los números negativos) resultan intuitivamente de las operaciones de sustracción realizadas con los naturales.


Concepto de número natural


El conjunto de los números naturales contiene clases simbolizadas por cifras que expresan el número de elementos que contiene un conjunto dado. Por ejemplo, el número natural 4 representa a un conjunto formado por cuatro elementos.

El conjunto de los números naturales se denota por N = {1, 2, 3, 4, ...}. En sentido estricto, este conjunto no contiene al cero; si se quiere incluir este elemento en el conjunto, se denota por N* = {0, 1, 2, 3, 4, ...}.

Entre los números naturales no se contemplan los valores negativos. Por tanto, este conjunto puede interpretarse intuitivamente como aquel que sirve para contar. En él pueden definirse operaciones de suma, resta, multiplicación y división, así como relaciones de orden (mayor que, menor que).


Números enteros



De forma intuitiva, puede decirse que el conjunto de los números enteros es el formado por los elementos siguientes: {..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ...}. Este conjunto se denota por Z, e incluye como subconjunto al de los números naturales; es decir: N Ì Z.

En sentido estricto, un número entero se define como una clase de equivalencia del conjunto de pares de la correspondencia N x N, de manera que a cada par de elementos (n1, n2) le hace corresponder un número entero z definido como z = n1 - n2. Por ejemplo, los pares (1,3), (2,4), (14,16), (20,22), etc., son equivalentes y corresponden a una misma clase de equivalencia representada por el número entero -2.




El termómetro común permite efectuar lecturas en el conjunto de los números enteros, ya que expresa valores de temperatura positivos o negativos, sin considerar posibles cifras decimales.


Representación de los números enteros



El conjunto Z de los números enteros se representa comúnmente como una serie de valores discretos marcados sobre una recta. Así, los números enteros no llenan la recta, sino que entre ellos existen infinitos puntos que no pertenecen al conjunto Z.

En esta distribución, se dice que, dados dos números enteros n y m, n es mayor o igual que m (n ³ m) si n - m es un número entero positivo o cero. En virtud de ello, el de los números enteros es un conjunto ordenado.




Representación gráfica del conjunto Z.



Operaciones con números enteros


En el conjunto de los números enteros se definen habitualmente dos operaciones o leyes de composición, llamadas suma y producto. Dados dos números enteros a 5 (a1, a2) y b 5 (b1, b2), la suma se define como:



Por ejemplo, la suma de 4 y (21) puede escribirse como: (4) + (-1) = (5, 1) + (3, 4) = (8, 5) = 3.

Por su parte, el producto se obtiene como:




Así, el producto de 4 por (-1) se calcularía como: (4) × (-1) = (5, 1) × (3, 4) = =(5 × 3 + 1 × 4, 5 × 4 + 1 × 3) = (19, 23) = 24.


Múltiplos y divisores



En el conjunto de los números enteros, se dice que un número n es divisor de otro m, y se escribe n | m, si existe un entero q tal que n × q = m. También se dice entonces que n divide a m, o que m es múltiplo de n o es divisible por n. Por ejemplo, 4 es divisor de (-12), ya que 4 × (-3) = (-12) y -3 es un número entero.

Según las reglas de la divisibilidad, cabe distinguir dos clases genéricas de números enteros:
  • Números primos: son aquellos distintos de la unidad que sólo admiten como divisores a él mismo, a su opuesto y a la unidad.

  • Números compuestos: son todos los restantes.


Máximo común divisor y mínimo común múltiplo


Dados dos o más números enteros, el máximo común divisor (m. c. d.) de todos ellos es el mayor de sus divisores comunes. Por su parte, el mínimo común múltiplo (m. c. m.) de dos o más números enteros es el menor de sus múltiplos comunes.

Para calcular estos dos valores se han de descomponer en sus factores primos los números de partida, es decir, en un producto de números enteros que sean números primos.
Entonces, el m. c. d. se calcula como el producto de todos los factores primos comunes de los números elevados al menor exponente; el m. c. m. se obtiene como el producto de los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente.


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El ábaco




El ábaco es un sencillo instrumento de cómputo aritmético aún hoy utilizado en numerosos países, sobre todo orientales. Aún hoy utilizado cotidianamente en varios países con un nivel tecnológico elevado, como Japón o Rusia, el ábaco es uno de los instrumentos de cálculo más antiguos que se conocen. En esencia, consta de un armazón con varias filas de cuentas ensartadas en alambres o cuerdas en paralelo. En las cuerdas se representan las unidades, las decenas, las centenas, las unidades de millar, etcétera. La agrupación de cuentas en cada una de las filas permite expresar cualquier número en el sistema decimal, así como realizar cálculos con toda rapidez.


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Tabla de signos en el producto de números enteros

(+) × (+) = +
(+) × (-) = -
(-) × (+) = -
(-) × (-) = +


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Números primos


Se llama primo a todo número entero cuyos únicos divisores son él mismo, su opuesto y la unidad; los números no primos se denominan compuestos. El estudio de los números primos ha constituido desde antiguo una fascinante rama de las matemáticas, no sólo interesante como un juego matemático, sino también por sus implicaciones científicas. Los números primos menores que 100 son los siguientes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.




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Publicado el 13 mayo 2008 - 01:24




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Números racionales


El concepto de fracción surge intuitivamente cuando se pretende dividir una unidad en partes del mismo tamaño (por ejemplo, un pastel). Cada uno de los elementos individuales obtenidos es una parte fraccionaria de la unidad. Conceptualmente, el conjunto de los números enteros y los fraccionarios así obtenidos conforma un conjunto más general, llamado de los números racionales.


Números fraccionarios



Un número fraccionario puede verse como un par ordenado de números enteros (a, b), siendo a, b Î Z, que se expresa también como , tal que a recibe el nombre de numerador y b, que ha de ser distinto de cero, el de denominador. Los números fraccionarios pueden ser:

- Fracciones propias, cuando el numerador es menor que el denominador.Por ejemplo: etcétera.

- Fracciones impropias, en caso contrario.Por ejemplo, etcétera.

Las fracciones impropias se expresan también como números mixtos, constituidos por la suma de un entero y una fracción propia. Por ejemplo, puede escribirse también como la suma de 1 y , que corresponde al número mixto 1.

Si se considera a la fracción impropia como una división, el numerador es el dividendo (D) y el denominador el divisor (d). Entonces, el número mixto que la representa tendrá la forma genérica: , siendo c el cociente y r el resto de la división.



El conjunto de los números racionales


El conjunto que engloba a los números enteros y a los fraccionarios positivos y negativos conforma el conjunto de los números racionales, que se denota por Q. Un número racional se define como una clase de equivalencia del conjunto de pares de la correspondencia Z x Z*, siendo Z* = Z - {0}, de modo que a cada par (z1, z2) le hace corresponder un número racional z definido como z = z1/z2. Por ejemplo, los pares (1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12), etcétera, son equivalentes y corresponden a una misma clase de equivalencia representada por el número racional 1/3.


Representación de los números racionales


El conjunto Q de los números racionales se representa, al igual que el de los enteros, como una serie de valores discretos sobre una recta. Los números racionales tampoco llenan la recta, aunque intercalan infinidad de valores entre los enteros. Dados dos números racionales n y m, n es mayor o igual que m (n ³ m) si n - m es un número racional positivo o cero; es decir, el conjunto de los números racionales está ordenado.




Representación gráfica del conjunto Q.




Operaciones con números racionales


En el conjunto de los números racionales se definen dos operaciones o leyes de composición, llamadas suma y producto. Dados dos números racionales a = (a1, a2) y b = (b1, b2), la suma se define como:




El producto de dos números racionales se obtiene como:







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Publicado el 13 mayo 2008 - 01:26



Continuación del post superior... Números Racionales



Expresión decimal de una fracción


Las fracciones pueden expresarse como números decimales, efectuando la división correspondiente entre el numerador y el denominador. Entonces, se distingue entre:

- Expresiones decimales exactas, que corresponden a las fracciones decimales aquellas que su denominador es una potencia de 10) y a las fracciones que son equivalentes a una fracción decimal. Por ejemplo

- Expresiones decimales periódicas, divididas a su vez en dos grupos: periódicas puras, en las que el periodo empieza inmediatamente después de la coma (por ejemplo, , y periódicas mixtas, en las que el periodo no se inicia justo después de la coma (como sucede en


Expresión fraccionaria de un número decimal


Dado un número decimal o exacto o de naturaleza periódica (ya sea pura o mixta), siempre es posible hallar una fracción que lo represente, llamada su fracción generatriz. Cuando el decimal es exacto, la fracción generatriz se calcula colocando en el numerador el número sin decimales y en el denominador, la unidad seguida de tantos ceros como decimales haya; si es periódico puro o mixto, se procede según el ejemplo.






El papiro de Rhind


Las fracciones ya eran conocidas por los antiguos egipcios. Así lo atestigua un papiro de 3.700 años de antigüedad en el que se leía «AH, el total y su séptima parte hacen 19». Este importante vestigio histórico fue adquirido en 1858 en una tienda de Luxor por el anticuario escocés Henry Rhind.




Los números irracionales


Dados dos números racionales cualesquiera, siempre es posible hallar un nuevo número racional comprendido entre los dos; por ejemplo, entre m y n está el número racional
(m + n)/2. Sin embargo, los números racionales no llenan toda la recta. ¿Cómo se entiende esto? Basta con imaginar algunos números que, como P o la raíz cuadrada de 2, no pueden expresarse como fracciones. Los números de esta clase se llaman irracionales y se «intercalan» en la recta en los huecos que existen entre los elementos del conjunto Q.



Notación de los números decimales


El primero en utilizar una notación sistemática para expresar los números decimales fue el matemático flamenco Simon Stevin (1548-1620). No obstante, la versión actual de esta notación se debe a Willbord Suellius, quien vivió en los Países Bajos en el siglo XVII.




Errores en expresiones fraccionarias


Cuando la expresión decimal de una fracción es un número decimal periódico, es frecuente efectuar aproximaciones de dicho resultado. Por ejemplo, 1/3 = 0,333333..., que, en casos prácticos, podría escribirse simplemente como 0,33. Entonces, se habrá introducido un error en el valor, que puede medirse en términos absolutos (error absoluto, igual a la diferencia entre el valor real y el aproximado) o relativos (cociente entre el error absoluto y el valor real, comúnmente expresado en porcentaje).


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Ecuaciones de primer grado



El planteamiento de ecuaciones en matemáticas responde a la necesidad de expresar simbólicamente los problemas y los pensamientos. El primero en proponer una notación simbólica, y no sólo lógica, para explicar sus proposiciones matemáticas fue el griego Diofanto de Alejandría, en el siglo III a.C., por cuya razón las primeras ecuaciones algebraicas se dieron en llamar diofánticas.


Igualdades, identidades y ecuaciones



Se llama expresión algebraica a una combinación de números y letras ligados por los signos de las operaciones del cálculo. Al igualar dos expresiones algebraicas, se obtiene una igualdad.

Una igualdad de expresiones algebraicas se denomina ecuación cuando sólo se cumple para determinados valores de la variable o variables (soluciones de la ecuación), e identidad si se cumple para todo valor de la variable o variables (incógnitas) que contiene. Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.



¡Transeúnte!, en esta tumba yacen los restos de Diofanto. De la lectura de este texto podrás saber un dato de su vida. Su infancia ocupó la sexta parte de su vida, después transcurrió una doceava parte hasta que su mejilla se cubrió de vello. Pasó aún una séptima parte de su existencia hasta contraer matrimonio. Cinco años más tarde tuvo lugar el nacimiento de su primogénito, que murió al alcanzar la mitad de la edad que su padre llegó a vivir. Tras cuatro años de profunda pena por la muerte de su hijo, Diofanto murió. De todo esto, dime cuántos años vivió Diofanto.


Epigrama del siglo V o VI d.C. propuesto a modo de ecuación por un discípulo de Diofanto para explicar datos de la vida de este sabio griego:




Clases de ecuaciones



Las ecuaciones algebraicas se clasifican según distintos criterios:
  • Según el número de incógnitas: Ecuaciones de una incógnita, de dos, de tres, ?, de n incógnitas.

  • Según el término de mayor grado: de primer grado (lineales), segundo grado (cuadráticas), tercer grado (cúbicas), ? de grado n.

  • Según la forma de presentación de las variables: enteras, cuando no existe ninguna incógnita en el denominador; fraccionarias, con incógnitas en algún denominador; racionales, si las incógnitas no aparecen dentro de raíces cuadradas, cúbicas, etcétera, e irracionales, si las incógnitas se presentan dentro de alguna de estas raíces.


Propiedades de las igualdades



Para la resolución de ecuaciones algebraicas es preciso tener en cuenta las propiedades elementales de las igualdades:
  • Cuando se suma o resta un mismo número a los dos miembros de una ecuación se obtiene una ecuación equivalente.

  • Si los dos miembros de una ecuación se multiplican o dividen globalmente por un mismo número, el resultado es también una ecuación equivalente. Cuando se divida tiene que ser por un número distinto de cero.



Estas propiedades suelen utilizarse para transponer términos, mediante dos técnicas complementarias:
  • Sumar en ambos miembros de una ecuación el valor opuesto (cambiado de signo) de un término que se quiera transponer de un miembro a otro.

  • Multiplicar ambos miembros por el inverso del término que se quiera transponer.



Ecuaciones de primer grado con una incógnita


La resolución de problemas algebraicos se basa en el concepto de ecuaciones equivalentes. Esta idea tiene particular aplicación en el caso de las ecuaciones lineales o de primer grado en las que sólo existe una incógnita (normalmente denotada por x), siempre en el numerador de los términos y elevada al grado 1. Un ejemplo de ecuación de primer grado, con una incógnita sería 3x + 5 = 4 × (1 - x) + 2x.

Para resolver las ecuaciones de primer grado con una incógnita, se emplea un procedimiento genérico que se ilustra en el ejemplo adjunto:

Sea la ecuación:



Para resolverla se aplican los siguientes pasos:

1. Se eliminan denominadores, multiplicando ambos miembros por el mínimo común múltiplo de todos los denominadores que aparezcan (en el ejemplo, sería 12). Entonces, se obtiene: 9x + 48 = 48 (1 - x) + 16x

2. Se eliminan los paréntesis, con lo que queda: 9x + 48 = 48 - 48x + 16x

3. Se transponen términos, agrupando los que tengan la incógnita en un miembro y los que no la tengan en el otro: 9x + 48x - 16x = 48 - 48

4. Se simplifican los dos miembros, efectuando las operaciones necesarias: 41x = 0

5. Se despeja la incógnita: x = 0

6. Se comprueba la solución sustituyéndola por la incógnita en la ecuación inicial.


Inecuaciones


Paralelamente a los conceptos de igualdad y ecuación pueden definirse los de desigualdad e inecuación. Una desigualdad resulta de la comparación entre dos expresiones algebraicas separadas por los símbolos menor (<), mayor (>), menor o igual (≤ ) o mayor o igual (≥). El resultado de esta desigualdad es una inecuación.

Resolver una inecuación es hallar el valor o conjunto de valores (raíces) que la verifican, de manera que distintas inecuaciones con iguales soluciones se dicen equivalentes. Un ejemplo de inecuación podría ser 3x + 5 ≥ 4 × (1 - x) + 2x.



Propiedades de las desigualdades


Para resolver inecuaciones se aplican las siguientes propiedades de las desigualdades:
  • Cuando se suma o resta un mismo término en ambos miembros de una inecuación se obtiene una inecuación equivalente.

  • Si se multiplican o dividen los dos miembros de una inecuación por un número o cantidad positivos, la inecuación resultante es equivalente; si este número o cantidad son negativos, la inecuación resultante es también equivalente, pero ha de invertirse el signo de la desigualdad.

Estas propiedades se utilizan, al igual que en las ecuaciones, para transponer términos y obtener las raíces o soluciones.




Orígenes del álgebra


El término álgebra procede del árabe, y fue tomado de la obra Libro de la integración y las ecuaciones, de Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (h. 780-h. 850), en cuyo título original aparece la palabra al-yabra con el significado de “regla para transformar igualdades”. En cambio, ecuación procede del latín aequatio, que significa ”igualdad”. Así, un breve recorrido etimológico por el concepto de “ecuación algebraica“ refleja la simbiosis del saber oriental y grecolatino que presidió el desarrollo de la matemática moderna.





El lenguaje algebraico


En la formulación y resolución de ecuaciones algebraicas se utiliza un lenguaje específico. Así, se llama incógnita, variable o indeterminada a cada una de las cantidades desconocidas que aparecen en la ecuación, mientras que las cantidades conocidas se denominan constantes o coeficientes. Por otra parte, cada cantidad separada de las restantes por signos de adición o resta se denomina término, y se llama miembro a cada grupo de términos situado a cada lado del signo de igualdad (o desigualdad, en las inecuaciones).





El signo en las inecuaciones


En la resolución de inecuaciones ha de prestarse particular atención al manejo de los signos. Por ejemplo, si se multiplican ambos miembros por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido, de manera que: un menor (<) se convierte en mayor (>), y viceversa.






François Viète





François Viète (1540-1603), matemático francés, fue el primero que utilizó letras para designar a las incógnitas y las constantes de las ecuaciones algebraicas. También desarrolló un método para calcular el valor del número pi con un gran número de decimales.



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Sistemas de ecuaciones de primer grado



El estudio de sistemas de ecuaciones lineales es un problema clásico de las matemáticas. Cuando se trata de sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, se aplican diversos métodos de resolución sencillos de tipo gráfico y algebraico; si el número de ecuaciones es superior, es preferible recurrir al empleo de matrices y determinantes.


Sistemas de ecuaciones lineales


Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de igualdades algebraicas en las que aparecen una o varias incógnitas elevadas a la potencia uno. Cada una de estas ecuaciones lineales, o de primer grado, tiene la forma ax + by + cz + … = k, donde a, b, c, ..., son los coeficientes de la ecuación; x, y, z, ..., las incógnitas o variables, y k el término independiente (también un valor constante).

Los sistemas en los que el número de ecuaciones coincide con el de las incógnitas se denominan cuadrados. Un caso particularmente interesante de sistemas cuadrados es el de dos ecuaciones con dos incógnitas, que adopta la forma general siguiente:






Tipos de sistemas lineales


En el análisis de un sistema de ecuaciones lineales se pueden presentar varios casos:
  • Si el sistema tiene solución, y ésta es única, se denomina compatible determinado.

  • Cuando presenta varias soluciones posibles, es compatible indeterminado.

  • Si no tiene solución, se denomina imposible o incompatible.



Dos sistemas de ecuaciones lineales que tienen las mismas soluciones son equivalentes. En la noción de equivalencia se basan las principales técnicas algebraicas de resolución de estos sistemas, que persiguen convertirlos en otros cuya resolución sea más sencilla.





Método de igualación


Una primera técnica algebraica común para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es el método de igualación. Este método consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones resultantes; se resuelve la ecuación de primer grado con una incógnita obtenida y se sustituye este valor en las ecuaciones iniciales.

Sea, por ejemplo el sistema:




Despejando x en ambas ecuaciones, se tiene:




Entonces,


Sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones de x, se tiene que x = 2.


Método de sustitución


La técnica algebraica denominada método de sustitución, para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituirla en la otra; así, se obtiene una sola ecuación con una incógnita. Una vez obtenido el valor de esta incógnita, se sustituye su valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema, inicial para calcular el valor de la otra incógnita.

Sea el mismo sistema anterior de ecuaciones. Si se despeja , y se sustituye en la segunda ecuación, se tiene que:




-17 y = -17, y = 1. Como , entonces x = 2.


Método de reducción


La tercera técnica algebraica de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, el método de reducción, consta de los siguientes pasos:
  • Se multiplican o dividen los miembros de las dos ecuaciones por los números que convengan para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas.

  • Se restan las dos ecuaciones resultantes, con lo que se elimina una incógnita.

  • Se resuelve la ecuación con una incógnita obtenida, y se sustituye su valor en cualquiera de las ecuaciones iniciales para calcular la segunda.



Por ejemplo, en el sistema de ecuaciones:






conviene multiplicar la primera ecuación por 4 y la segunda por 3, y restar ambas ecuaciones:







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Continuación del post superior...



Sistemas de ecuaciones de primer grado


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Resolución de sistemas de ecuaciones


Para resolver problemas mediante el planteamiento de un sistema de ecuaciones lineales, se deben seguir varios pasos:
  • Plantear el problema, entendiendo su enunciado y convirtiéndolo en ecuaciones con coeficientes, constantes y variables o incógnitas.

  • Analizar el tipo de sistema que se obtiene.

  • Elegir un método de resolución (algebraico o gráfico) y aplicarlo.

  • Estudiar si las soluciones obtenidas son pertinentes en el contexto del problema.

  • Comprobar las soluciones en las ecuaciones planteadas.



Sistemas cuadrados de múltiples ecuaciones


Un procedimiento sencillo para resolver sistemas cuadrados con más de dos ecuaciones es el denominado método de Gauss. Este método consiste en tomar las ecuaciones dos a dos y aplicarles el método de reducción para ir rebajando sucesivamente el número de incógnitas y de ecuaciones manejadas. Una vez obtenida la solución de una de las incógnitas, se va sustituyendo en orden inverso en las ecuaciones anteriores hasta obtener la relación completa de raíces para todas las incógnitas.



Resolución de sistemas de ecuaciones lineales por métodos gráficos





Sistema compatible determinado.









Sistema compatible indeterminado.







Sistema incompatible.




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Ecuaciones de segundo grado




En el planteamiento de numerosos problemas, como la resolución de triángulos rectángulos o el estudio de movimientos físicos con aceleración, aparecen términos desconocidos elevados al cuadrado. Tales problemas se resuelven por medio de ecuaciones de segundo grado, también llamadas cuadráticas.


Ecuaciones cuadráticas


Se llama ecuación cuadrática, o de segundo grado, con una incógnita a toda aquella que tiene la forma general reducida


ax2 + bx + c = 0



El coeficiente a se llama cuadrático o principal, b es el coeficiente lineal y c el término independiente.
  • Si todos los coeficientes de la ecuación son distintos de cero, se dice que es completa.

  • Si el coeficiente lineal o el término constante son nulos, la ecuación es incompleta.



Resolución y discusión de ecuaciones cuadráticas



En el planteamiento de la resolución de una ecuación de segundo grado con una incógnita pueden darse varios casos:

Si la ecuación es incompleta sin coeficiente lineal ni término independiente (ax2 = 0), la solución es x = 0 (doble).


Cuando es incompleta sin coeficiente lineal (ax2 + c = 0), las raíces son


Cuando es incompleta sin término independiente (ax2 + bx = 0), tiene dos raíces: x1 = 0, y x2 = -b/a.


Una ecuación completa tiene dos raíces, dadas por la fórmula:




El valor b2 - 4ac se llama discriminante, y de su estudio se deduce que si es mayor que cero, la ecuación tiene dos raíces reales distintas; si es igual a cero, existe una única solución doble dada por x = -b/2a, y si es menor que cero, las soluciones pertenecen al conjunto de los números complejos (no son reales).



Relación entre las raíces y los coeficientes


Del estudio comparado de las raíces y los coeficientes de una ecuación de segundo grado con una incógnita se extraen algunas conclusiones interesantes:
  • La suma de las raíces de la ecuación es igual al coeficiente lineal cambiado de signo dividido por el coeficiente principal: x1 + x2 = -b/a.

  • El producto de las raíces es igual al término independiente dividido por el coeficiente principal: x1 × x2 = c/a.

  • Si se conocen la suma s = x1 + x2 y el producto p = x1 × x2 de las raíces de la ecuación, se tiene que: x2 - sx + p = 0.

  • Conociendo la diferencia d = x1 - x2 y el producto p = x1 × x2 de las raíces, se deduce que:



  • Sabiendo el valor de las raíces x1 y x2, la ecuación se puede expresar como un producto de binomios: (x - x1) (x - x2) = 0 (ecuación factorial).



Ecuaciones bicuadradas


Las técnicas de resolución de ecuaciones de segundo grado pueden aplicarse también a las llamadas ecuaciones bicuadradas. Estas ecuaciones tienen como forma general:

ax4 + bx2 + c = 0.


Al ser de orden 4, las ecuaciones bicuadradas tienen cuatro raíces o soluciones. Se resuelven según un sencillo método:
  • Se sustituye y = x2, con lo que la ecuación se reduce a ay2 + by + c = 0.

  • Se obtienen las raíces y1 e y2 de esta ecuación de segundo grado.

  • Se calculan las cuatro raíces de x como
Según los valores obtenidos para y1 e y2 en la resolución de la ecuación de segundo grado intermedia, pueden darse varios casos:
  • Si y1 > 0 e y2 > 0, la ecuación bicuadrada tiene cuatro soluciones reales.

  • Cuando y1 > 0 e y2 < 0, o bien y1 < 0 e y2 > 0, la ecuación bicuadrada tiene dos soluciones reales y dos complejas.

  • Si y1 < 0 e y2 < 0, la ecuación bicuadrada no tiene soluciones reales (sus cuatro soluciones pertenecen al conjunto de los números complejos).



Ecuaciones irracionales


Semejantes a las ecuaciones cuadráticas son las llamadas ecuaciones irracionales, aquellas en que la incógnita aparece, en algún término, dentro de un signo radical Ö. La forma general de una ecuación irracional es la siguiente:


Para resolver estas ecuaciones, se elevan los dos miembros de la ecuación a la potencia que resulte conveniente según el índice del radical.

Un caso simplificado de este tipo de ecuaciones se obtiene cuando sólo existen raíces cuadradas en uno o ambos miembros de la ecuación. El procedimiento general de resolución de las mismas consiste en:
  • Aislar en uno de los miembros el término que tiene la raíz cuadrada.

  • Elevar al cuadrado ambos miembros para eliminar la raíz. Después de simplificar la ecuación resultante, se obtiene una ecuación de segundo grado con una incógnita.

  • Se procede a resolver esta ecuación de segundo grado, con arreglo a los métodos habituales.

  • Al haberse elevado la ecuación al cuadrado, se ha introducido una solución «falsa». Las dos raíces obtenidas de la ecuación de segundo grado se han de comprobar en la ecuación irracional original; se descubrirá entonces que sólo una de ellas cumple la igualdad de la ecuación. Ésta será su única solución.



Cálculo de la fórmula






Cálculo de la fórmula de una ecuación de segundo grado




Soluciones racionales, reales y complejas



Las ecuaciones cuadráticas pueden tener tres tipos de soluciones:

· Racionales, ya sean enteras o fraccionarias.

· Reales irracionales, como Ö2, Ö5, etc.

· Complejas, cuando se obtiene la raíz cuadrada de un número negativo.





Movimientos acelerados


Un caso particularmente interesante de aplicación de las ecuaciones cuadráticas a la realidad física es el de los movimientos provistos de aceleración. En estos movimientos (por ejemplo, la caída libre de un objeto), en la fórmula del espacio recorrido aparece la variable «tiempo» elevada al cuadrado, por lo que se obtiene una ecuación cuadrática con el tiempo como incógnita







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Publicado el 04 junio 2008 - 12:39









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Sistemas de ecuaciones de segundo grado e inecuaciones con varias incógnitas




El estudio de los sistemas en que aparecen ecuaciones de segundo grado aplica, en esencia, las mismas técnicas de resolución utilizadas en los sistemas de ecuaciones lineales. Estos procedimientos generales son también extensibles a la resolución de sistemas de inecuaciones.




Sistemas de ecuaciones cuadráticas


Se llama sistema de ecuaciones de segundo grado, o ecuaciones cuadráticas, a todo aquel en el que aparece al menos una ecuación de orden 2. Los sistemas de ecuaciones de segundo grado son de tipo no lineal, y para su resolución se usan los procedimientos aplicados en los sistemas de primer grado o lineales. Considerando que el sistema estuviera formado por dos ecuaciones:
  • Por igualación, se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones y se igualan los resultados. En la ecuación resultante (que puede ser de segundo grado, bicuadrada o irracional), se obtienen las raíces de la segunda incógnita, que se sustituyen en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar las soluciones de la otra incógnita.

  • Por sustitución, se despeja una incógnita en una ecuación y se sustituye en la otra. Se resuelve entonces la ecuación resultante (cuadrática, bicuadrada o irracional) y se calculan las raíces.

  • Por reducción, se multiplican las ecuaciones por coeficientes o por las variables hasta conseguir que la suma (o resta) de las dos ecuaciones equivalentes que resultan permita anular una de las incógnitas. Se resuelve después la ecuación (cuadrática, bicuadrada o irracional) resultante, y se calculan las raíces.
Como es frecuente que, en alguno de los pasos de la resolución, se haya tenido que elevar al cuadrado alguna de las incógnitas, se habrán introducido así soluciones «falsas ». Es imprescindible comprobar todas y cada una de las parejas de raíces o soluciones obtenidas para las incógnitas en las ecuaciones originales del sistema. Siempre habrá que desechar alguno de estos pares, si no cumple la igualdad.



Resolución por métodos gráficos


Los sistemas de ecuaciones de segundo grado pueden resolverse también por métodos gráficos.

Para ello, ha de tenerse en cuenta que:
  • Las ecuaciones de primer grado (lineales) se representan mediante rectas.

  • Las ecuaciones de segundo grado (cuadráticas) son representativas de curvas cónicas, ya sean circunferencias, elipses, parábolas o hipérbolas.
Al representar gráficamente las ecuaciones en un plano, pueden darse varios casos:
  • Si las dos cónicas, o una cónica y una recta, del sistema se cortan en uno o dos puntos, el sistema es compatible determinado.

  • Cuando se obtienen dos cónicas coincidentes, el sistema es compatible indeterminado.

  • Si las dos cónicas, o la cónica y la recta, no se cortan en ningún punto del plano, el sistema es incompatible (carece de solución).
Inecuaciones lineales con varias incógnitas


Una inecuación lineal con varias incógnitas responde a la fórmula general siguiente:

ax + by + cz + ... + d < 0 (inecuación en sentido estricto),

o bien ax + by + cz + ... + d ≥ ≤ 0 (inecuación en sentido amplio).


Para obtener la solución de la inecuación, se despeja una de las incógnitas.

Por ejemplo, en una inecuación lineal con dos incógnitas, del tipo ax + by + c < 0, despejando se obtendría que: y < (-ax - c)/b.

Esta solución tiene una interpretación gráfica interesante si se considera que la igualdad

y = (-ax - c)/b


corresponde una recta en el plano. Por tanto, la desigualdad para el signo menor (<) incluye todos los puntos del plano situados por debajo de dicha recta. Así, la resolución de una inecuación lineal es un semiplano, tal que:
  • Si se trata de una inecuación en sentido estricto, no incluye a los puntos de la recta que limita al semiplano.

  • Si es una desigualdad en sentido amplio, los puntos de la recta son también soluciones de la inecuación.
Sistemas de inecuaciones y ecuaciones lineales


Dado un sistema formado por una inecuación lineal y una ecuación también lineal, la solución es el conjunto de puntos de la semirrecta que representa a la ecuación lineal contenida en el semiplano solución de la inecuación.

Cuando el sistema está formado por dos inecuaciones lineales, la solución es la porción del plano que contiene los dos semiplanos correspondientes a la solución de cada una de las inecuaciones.




Resolución gráfica de un sistema formado por una inecuación y una ecuación lineales.






Resolución gráfica de un sistema formado por dos inecuaciones lineales.




Método gráfico de resolución de sistemas de ecuaciones cuadráticas.







Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones de segundo grado






Sistema compatible determinado.






Sistema compatible indeterminado.








Sistema incompatible.





Sistemas lineales y no lineales


Los sistemas de ecuaciones de primer grado se dicen lineales porque cada una de las ecuaciones puede representarse mediante rectas en el plano o en el espacio, según el número de incógnitas (dimensiones) que se considere.

En cambio, las ecuaciones de segundo grado corresponden, gráficamente, a elipses, parábolas e hipérbolas, que son formas cónicas expresadas por ecuaciones cuadráticas. Así, cualquier sistema en el que aparezca al menos una ecuación de grado superior a uno será de tipo no lineal.



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Publicado el 17 junio 2008 - 06:35

CITA(Ge. Pe. @ Jun 4 2008, 11:39 AM) Ver Mensajes




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Sistemas de ecuaciones de segundo grado e inecuaciones con varias incógnitas

El estudio de los sistemas en que aparecen ecuaciones de segundo grado aplica, en esencia, las mismas técnicas de resolución utilizadas en los sistemas de ecuaciones lineales. Estos procedimientos generales son también extensibles a la resolución de sistemas de inecuaciones.
Sistemas de ecuaciones cuadráticas


Se llama sistema de ecuaciones de segundo grado, o ecuaciones cuadráticas, a todo aquel en el que aparece al menos una ecuación de orden 2. Los sistemas de ecuaciones de segundo grado son de tipo no lineal, y para su resolución se usan los procedimientos aplicados en los sistemas de primer grado o lineales. Considerando que el sistema estuviera formado por dos ecuaciones:
  • Por igualación, se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones y se igualan los resultados. En la ecuación resultante (que puede ser de segundo grado, bicuadrada o irracional), se obtienen las raíces de la segunda incógnita, que se sustituyen en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar las soluciones de la otra incógnita.
  • Por sustitución, se despeja una incógnita en una ecuación y se sustituye en la otra. Se resuelve entonces la ecuación resultante (cuadrática, bicuadrada o irracional) y se calculan las raíces.
  • Por reducción, se multiplican las ecuaciones por coeficientes o por las variables hasta conseguir que la suma (o resta) de las dos ecuaciones equivalentes que resultan permita anular una de las incógnitas. Se resuelve después la ecuación (cuadrática, bicuadrada o irracional) resultante, y se calculan las raíces.
Como es frecuente que, en alguno de los pasos de la resolución, se haya tenido que elevar al cuadrado alguna de las incógnitas, se habrán introducido así soluciones «falsas ». Es imprescindible comprobar todas y cada una de las parejas de raíces o soluciones obtenidas para las incógnitas en las ecuaciones originales del sistema. Siempre habrá que desechar alguno de estos pares, si no cumple la igualdad.
Resolución por métodos gráficos


Los sistemas de ecuaciones de segundo grado pueden resolverse también por métodos gráficos.

Para ello, ha de tenerse en cuenta que:
  • Las ecuaciones de primer grado (lineales) se representan mediante rectas.
  • Las ecuaciones de segundo grado (cuadráticas) son representativas de curvas cónicas, ya sean circunferencias, elipses, parábolas o hipérbolas.
Al representar gráficamente las ecuaciones en un plano, pueden darse varios casos:
  • Si las dos cónicas, o una cónica y una recta, del sistema se cortan en uno o dos puntos, el sistema es compatible determinado.
  • Cuando se obtienen dos cónicas coincidentes, el sistema es compatible indeterminado.
  • Si las dos cónicas, o la cónica y la recta, no se cortan en ningún punto del plano, el sistema es incompatible (carece de solución).
Inecuaciones lineales con varias incógnitas


Una inecuación lineal con varias incógnitas responde a la fórmula general siguiente:

ax + by + cz + ... + d < 0 (inecuación en sentido estricto),

o bien ax + by + cz + ... + d ≥ ≤ 0 (inecuación en sentido amplio).


Para obtener la solución de la inecuación, se despeja una de las incógnitas.

Por ejemplo, en una inecuación lineal con dos incógnitas, del tipo ax + by + c < 0, despejando se obtendría que: y < (-ax - c)/b.

Esta solución tiene una interpretación gráfica interesante si se considera que la igualdad

y = (-ax - c)/b


corresponde una recta en el plano. Por tanto, la desigualdad para el signo menor (<) incluye todos los puntos del plano situados por debajo de dicha recta. Así, la resolución de una inecuación lineal es un semiplano, tal que:
  • Si se trata de una inecuación en sentido estricto, no incluye a los puntos de la recta que limita al semiplano.
  • Si es una desigualdad en sentido amplio, los puntos de la recta son también soluciones de la inecuación.
Sistemas de inecuaciones y ecuaciones lineales


Dado un sistema formado por una inecuación lineal y una ecuación también lineal, la solución es el conjunto de puntos de la semirrecta que representa a la ecuación lineal contenida en el semiplano solución de la inecuación.

Cuando el sistema está formado por dos inecuaciones lineales, la solución es la porción del plano que contiene los dos semiplanos correspondientes a la solución de cada una de las inecuaciones.




Resolución gráfica de un sistema formado por una inecuación y una ecuación lineales.




Resolución gráfica de un sistema formado por dos inecuaciones lineales.

Método gráfico de resolución de sistemas de ecuaciones cuadráticas.




Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones de segundo grado






Sistema compatible determinado.



Sistema compatible indeterminado.




Sistema incompatible.

Sistemas lineales y no lineales


Los sistemas de ecuaciones de primer grado se dicen lineales porque cada una de las ecuaciones puede representarse mediante rectas en el plano o en el espacio, según el número de incógnitas (dimensiones) que se considere.

En cambio, las ecuaciones de segundo grado corresponden, gráficamente, a elipses, parábolas e hipérbolas, que son formas cónicas expresadas por ecuaciones cuadráticas. Así, cualquier sistema en el que aparezca al menos una ecuación de grado superior a uno será de tipo no lineal.
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MATEMÁTICAS: EL ÚNICO LENGUAJE UNIVERSAL VERDADERO


Por Kanijo



2009. február 17





Una descripción alienígena del cosmos podría enseñarnos una o dos cosas sobre la naturaleza de la realidad (Imagen: Wolcott Henry/National Geographic/Getty)


Si alguna vez establecemos contacto con alienígenas inteligentes que viven en un planeta alrededor de una estrella lejana, sería de esperar que tuviésemos problemas al comunicarnos con ellos. Dado que estamos a muchos años luz de distancia, nuestras señales necesitarían muchos años para llegar hasta ellos, por lo que no habría lugar para una animada charla.

Podría haber un salto de inteligencia y que los alienígenas estuviesen hechos de una química distinta.

Aún así también habría mucho terreno común. Estarían hechos de átomos similares a los nuestros. Podrían rastrear sus orígenes hasta el Big Bang hace 13 700 millones de años, y compartirían el futuro de nuestro universo. No obstante, la cultura común más segura serían las matemáticas.

Las matemáticas han sido el lenguaje de la ciencia durante miles de años, y es notablemente exitosa. En un famoso ensayo, el gran físico Eugene Wigner escribió sobre la “irracional efectividad de las matemáticas”. La mayor parte de nosotros reaccionamos con perplejidad ante lo expresado por Wigner, y también ante el dictado de Einstein de que “lo más incomprensible del universo, es que es comprensible”. Nos maravillamos del hecho de que el universo no sea anárquico – de que los átomos obedecen las mismas leyes en lejanas galaxias que en el laboratorio. Los alienígenas, al igual que nosotros, quedarían sorprendidos por los patrones de nuestro compartido cosmos y por la efectividad de las matemáticas para describir esos patrones.

Las matemáticas también pueden señalar el camino hacia nuevos descubrimientos en la física. El famoso teórico británico Paul Dirac usó las matemáticas puras para formular una ecuación que le llevó a la idea de la antimateria años antes de que se encontrase la primera partícula en 1932. Entonces, seguirá la suerte de los físicos cuando se propongan estudiar niveles aún más profundos en las estructuras del cosmos? ¿Existen límites a la capacidad intrínseca de nuestros cerebros? ¿Pueden los ordenadores ofrecer pistas, más que sólo triturar números? Estos son algunas preguntas que dan vueltas en mi cabeza.

Los precedentes son alentadores. Los dos grandes avances en la física del siglo XX deben mucho a las matemáticas. El primero fue la formulación de la Teoría Cuántica en la década de 1920, de la cual Dirac fue uno de los grandes pioneros. La teoría nos dice que, a escala atómica, la naturaleza es intrínsecamente difusa. No obstante, los átomos se comportan de forma matemática muy precisa cuando emiten y absorben luz, o se unen para crear macromoléculas.

La otra fue la Relatividad General de Einstein. Más de 200 años antes, Isaac Newton demostró que la fuerza que hace que una manzana caiga de un árbol es la misma que mantiene a los planetas en sus órbitas. Las matemáticas de Newton son lo bastante buenas para enviar cohetes al espacio y hacer orbitar a sondas alrededor de planetas, pero Einstein trascendió a Newton. Si Teoría General de la Relatividad podía trabajar con velocidades muy altas y fuertes gravedades, ofreciendo una visión más profunda de la naturaleza de la gravedad.
Aún así, a pesar de su profunda visión física, Einstein no era un gran matemática. El lenguaje necesario para los mayores avances conceptuales de la física del siglo XX ya estaba colocado y Einstein tuvo la suerte de que los conceptos matemáticos que necesitaba ya habían sido desarrollados por el matemático alemán Bernhard Riemann un siglo antes. La cohorte de jóvenes teóricos cuánticos liderados por Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg y Dirac tuvieron una suerte similar al ser capaces de aplicar matemáticas ya fabricadas.

Los homólogos del siglo XXI de estas grandes figuras – aquellos que buscan fusionar la Relatividad General y la Mecánica Cuántica en una teoría unificada – no son tan afortunados. Una teoría unificada es un tema clave sin acabar en la ciencia actual.

La teoría favorita propone que las partículas que forman los átomos están hechas de diminutos bucles, o cuerdas, que vibran en el espacio en 10 u 11 dimensiones. Esta Teoría de Cuerdas implica unas matemáticas extremadamente complejas, que ciertamente no pueden encontrarse en las estanterías, y el reto que propone ha sido un estímulo para los matemáticos. Ed Witten, el reconocido como líder intelectual de la Teoría de Cuerdas, es también un matemático de renombre mundial, y varios otros líderes matemáticos han sido atraídos por el reto.

La Teoría de Cuerdas no es la única aproximación a una teoría unificada, pero es de lejos la más intensamente estudiada. Esta empresa es seguramente lo bastante buena para las matemáticas, pero existe controversia sobre cómo de buena es para la física. Existe un debate argumental sobre si la Teoría de Cuerdas es cierta, si alguna vez se podrá realizar un experimento, y si es física después de todo. Incluso ha habido libres comercialmente exitosos denostando la idea.

Para mi, las críticas sobre la Teoría de Cuerdas como empresa intelectual parecen ser de mal gusto. Es presuntuoso dudar del juicio de gente de una reconocida brillantez que eligió dedicar su carrera investigadores a ello. No obstante, debería preocuparnos la excesiva concentración de talento en un campo especulativo.

Encontrar una teoría unificada sería el final de un programa que comenzó con Newton. La Teoría de Cuerdas, de ser correcta, también reivindicaría la visión de Einstein y del fallecido físico estadounidense John Wheeler sobre que el mundo es, básicamente, una estructura geométrica.

Una posibilidad interesante, la cual creo que no debería descartarse, es que existe una “verdadera” teoría fundamental, pero que sea demasiado compleja para que los cerebros humanos puedan abarcarla. Un pez apenas es consciente del medio en el que vive y nada; ciertamente no tiene poder intelectual para comprender en qué consiste el agua y cómo se vinculan los átomos de hidrógeno y oxígeno. La microestructura del espacio vacío podría, de la misma forma, ser demasiado compleja para que la abarque un cerebro humano sin ayuda.

La Teoría de Cuerdas implica escalas trillones de veces más pequeñas de lo que nadie puede estudiar directamente. En el otro extremo, nuestras teorías cosmológicas sugieren que el universo es enormemente más extenso que el trozo que podemos observar con nuestros telescopios. Incluso podría ser infinito. El dominio que los astrónomos llaman “el universo” – el espacio que se extiende más de 10 mil millones de años luz a nuestro alrededor y que contiene miles de millones de galaxias, cada una con miles de millones de estrellas, planetas (y tal vez biosferas) – podría ser una parte infinitesimal del total.

No existen un horizonte definido para las observaciones directas: hay una cobertura esférica a nuestra alrededor, de tal forma que ninguna luz de más allá ha tenido tiempo para llegar hasta nosotros desde el Big Bang. No obstante, no existe nada físico sobre este horizonte. Si estás en medio del océano, es concebible que el agua termina justo más allá del horizonte – salvo que no lo hace. De la misma forma, existen razones para sospechar que nuestro universo – los restos de nuestro Big Bang – se extienden mucho más allá de lo que podemos ver.

Esto no es todo: nuestro Big Bang puede no ser el único. Una idea conocida como inflación eterna desarrollada en su mayor parte por Andrei Linde en la Universidad de Stanford en Palo Alto, California, piensa en Big Bangs apareciendo indefinidamente , en un sustrato siempre en expansión. O podría ser que hubiese otros espacio-tiempos junto al nuestro – todos embebidos en un espacio de más dimensiones. El nuestro podría ser sólo un universo dentro de un multiverso.

Otras ramas de las matemáticas se hacen entonces relevantes. Necesitamos un lenguaje riguroso para describir el número posible de estados que podría tener un universo y compararlo con la probabilidad de las distintas configuraciones. También se requiere una idea más clara del propio infinito.

El multiverso nos confronta con infinitos multiplicados por otros infinitos, tal vez repetidamente.

Para darle sentido a estos conceptos, debemos desplegar las matemáticas de los números transfinitos, que datan de Georg Cantor en el siglo XIX. Demostró que había una forma rigurosa de discutir sobre el infinito y que en un sentido bien definido existen infinitos de distintos tamaños.

Sin estos exóticos conceptos, los cosmólogos no serán capaces de afirmar el concepto de la teoría de multiversos y decidir, sin paradojas ni ambigüedades, lo que es probable y lo que es improbable dentro del mismo.

En su nivel más profundo, la realidad física puede tener una complejidad geométrica que satisfaría a cualquier inteligencia en la Tierra o más allá, así como habría deslumbrado a los Pitagóricos. Asumiendo que podríamos comprenderla, una teoría unificada que revele esto sería un triunfo intelectual. Llamarla una “Teoría del Todo”, sin embargo, es prepotente y equívoco dado que no ofrece ayuda al 99 por ciento de los científicos. La química y biología se mantienen a pesar de nuestra ignorancia de la física subnuclear; aunque dependen de las estructuras más profundas del espacio-tiempo. La Teoría de Cuerdas podría unificar dos grandes fronteras científicas, lo muy grande y lo muy pequeño, pero existe una tercera frontera – lo muy complejo. Este es, tal vez, el más complejo de todos, y es la frontera en la que trabajan la mayor parte de científicos.

No obstante, existen razones para esperar que reglas subyacentes simples gobiernen fenómenos aparentemente complejos. Esto estaba íntimamente relacionado en 1970 por el matemático John Conway que inventó el “juego de la vida”. Conway quería desarrollar un juego que empezara con un patrón simple y que evolucionase una y otra vez usando unas reglas básicas.

Comenzó a experimental con las casillas blancas y negras en un tablero de Go y descubrió que ajustando las reglas simples del juego, que determinaban cuándo cambiaba una casilla de negro a blanco o viceversa, se producían ordenaciones increíblemente complejas aparentemente de la nada. Pueden surgir algunos patrones que parecen tener vida propia cuando se mueven por el tablero.

El mundo real es similar: reglas simples que permiten consecuencias complejas. Aunque Conway sólo necesitó un lápiz y un papel para idear su juego, se necesita un ordenador para explorar por completo el rango de complejidad inherente al mismo.

Las simulaciones por ordenador han dado a la ciencia un impulso enorme. Y no existe ninguna razón por la que los ordenadores no puedan hacer verdaderos descubrimientos, aunque en su propia y original forma. El ordenador jugador de ajedrez de IBM, Deep Blue, no trabajaba con una estrategia similar a la de un jugador humano. En lugar de esto, aprovechó su velocidad de cálculo para explorar millones de movimientos y respuestas antes de decidir un movimiento óptimo. Esta aproximación por fuerza bruta logró superar a un campeón mundial.

La misma aproximación podría tener un buen uso para resolver problemas que hasta el momento nos han sido esquivos. Por ejemplo, los científicos están buscando actualmente nuevos superconductores que, en lugar de requerir bajas temperaturas para conducir la electricidad como sucede ahora, trabajen a temperatura ambiente.

Esta búsqueda implica una gran cantidad de ensayos y errores, debido a que nadie entiende exactamente lo que hace que desaparezca la resistencia eléctrica más fácilmente en unos materiales que en otros. Supón que una aparece una máquina con una receta para tal superconductor.

Aunque podría tener éxito de la misma forma que Deep Blue derrotó al campeón de ajedrez ruso Garry Kasparov, en lugar de tener una teoría o estrategia, lograría algo que merecería un Premio Nobel.

Las simulaciones que usan ordenadores cada vez más potentes ayudarán, de una forma similar, a los científicos a comprender procesos que ni se han estudiado en nuestros laboratorios ni se han observado de forma directa. En mi propia rama de la astronomía, los investigadores ya pueden crear un universo virtual en un ordenador y llevar a cabo experimentos en él, tales como calcular cómo se forman y mueren las estrellas.

Algún día, tal vez, mis colegas biólogos los usarán para simular muchos procesos incluyendo las complejidades químicas de las células vivas, cómo las combinaciones de los genes se codifican la intrincada química de una célula, y la morfología de extremidades y ojos. Tal vez seremos capaces de simular las condiciones que llevaron a la primera vida, o incluso a otras formas de vida que podrían, en principio, existir.

No obstante, aún queda un largo camino antes de que se logre una máquina inteligente real. Un potente ordenador puede ser campeón del mundo de ajedrez, pero ni siquiera el robot más avanzado puede reconocer y mover las piezas en un tablero de ajedrez real como lo haría un niño de cinco años.

Tal vez en el futuro lejano, no obstante, la inteligencia post-humana desarrolle híper-computadores con la potencia de cálculo para simular cosas vivas – incluso mundos completos.

Tal vez los seres avanzados podrían incluso simular un “universo” que vaya más allá de meros patrones en un tablero y los mejores efectos especiales de una película. Su universo simulado podría ser tan complejo como en el que percibimos estar actualmente. Esto genera un desconcertante pensamiento: tal vez eso es lo que es nuestro universo en realidad.

Es fascinante especular si ya existen alienígenas híper-inteligentes en alguna parte remota de nuestro cosmos.

De ser así, ¿sus cerebros “empaquetarían” la realidad en un lenguaje matemático que sería comprensible para nosotros o nuestros descendientes?


Autor: Martin Rees

Fecha Original: 16 de febrero de 2009
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Publicado el 22 junio 2009 - 05:21







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GENCIENCIA


La razón de la organización decimal y otras alternativas para contar muchas cosas (I)


Sergio Parra


19 de junio de 2009









¿De dónde surgió la necesitad de agrupar jerárquicamente los números según unas ciertas unidades? La base 10 nos resulta tan familiar que es difícil imaginar que puedan haber existido otras bases. Pero si existen otras, ¿cuáles son más efectivas?

Por razones prácticas, no es posible vivir teniendo únicamente un sistema de símbolos que tenga un nombre diferente o un objeto diferente que represente cada uno de los números. En algún momento de la historia, los seres humanos se enfrentaron al reto de ser capaces de representar y manipular cifras altas.

Así que, del mismo modo que las letras del alfabeto sirven para construir todas las palabras que necesitemos para describir la realidad con un mínimo de caracteres, debía adoptarse un conjunto mínimo de símbolos con el que todos los números pudiesen representarse para contar las cosas de esa realidad.

Nosotros usamos la base decimal. La idea de base 10 es bastante simple, lo cual nos indica que no tardó mucho en desarrollarse. Consiste en agrupar los números de modo que 10 unidades en un nivel correspondan a una unidad en un nivel superior en la jerarquía. Es decir: 10 “unos” corresponde a 1 “diez”, por ejemplo. Y así sucesivamente.


La posición de los dígitos también representa esta agrupación jerárquica. 555 es el mismo dígito repetido, pero cada uno de los dígitos significa algo diferente: 5 unidades, 5 decenas y 5 centenas. Esta idea de posición numérica fue inventada por los babilonios (usando el 60 como base) en el segundo milenio a.C. Luego el sistema fue reinventado sucesivamente en China, América Central y la India.

En sánscrito, los números del 1 al 10 tienen nombres diferentes: eka, dvau, trayas, catvaras, pañca, sat, sapta, astau, náva, dasa. Los números del 11 al 19 son una combinación del número de la unidad y 10. Por ejemplo, 15 es: pañca-dasa. En inglés, esto esquivale a los números “teen”. Excepto “eleven” y “twelve”. Aunque “eleven” deriva de “an” (uno) y “lif” (left, lo que queda), y “twelve” de “two” (dos) y “lift”. Es decir, que estos números representan “one left” y “two left” después de diez.

Todas las lenguas indoeuropeas poseen una estructura muy similar en su vocabulario para los números. Aunque, como os contaré en la segunda parte del artículo, no todas las civilizaciones han adoptado la popular base 10 basada en el hecho de que tengamos 10 dedos, a pesar de lo que expresaba el filósofo griego Aristóteles cuando se preguntaba en Problemata: “¿Por qué todos los hombres, tanto griegos como bárbaros, cuentan hasta diez y no hasta cualquier otro número?”

Vía | La proporción áurea de Mario Livio



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La razón de la organización decimal y otras alternativas para contar muchas cosas (y II)


Sergio Parra



21 de junio de 2009







La base 10 no presenta ninguna ventaja especial para organizar jerárquicamente los números. Imaginad, por ejemplo, la base 13. El 13 es un número primo, divisible solo por 1 y por sí mismo. Esto le otorgaría cierta superioridad sobre el número 10, pues la mayoría de fracciones serían irreductibles en un sistema semejante. Con la base 10, por ejemplo, se puede expresar el número 36/100 también como 18/50 o 9/25. Pero con una base prima como 13, estas representaciones múltiples no se darían.

Sin embargo, si finalmente los humanos se decantaron por la base 10 fue porque diez dedos destacaban ante los ojos de cualquiera y eran fáciles de usar. En algunas lenguas malayo-polinesias, la palabra “mano”, “lima”, es en realidad la misma que para la palabra “cinco”.

Pero no todas las civilizaciones conocidas han escogido 10 como base.

Aparte de la base 10, la más común en el mundo es la base 20, conocida como base vigesimal. Fue tremendamente popular en muchos territorios de Europa Occidental. También se basaron en los dedos para escoger esta base, pero no sólo en los dedos de las manos sino en los dedos de manos y de pies, conjuntamente. Por ejemplo, para los inuit, el número “veinte” se expresa con una frase que significa “un hombre está completo”.


Algunas lenguas modernas también conservan vestigios de este uso de base 20. En francés, el número 80 es “Quatre-vingts” (cuatro veintes). En irlandés, 40 es “daichead”, que deriva de “da fiche” (dos veces veinte). En danés, los números 60 y 80 (“tresindstyve” y “firsindstyve”, respectivamente, “tres” y “firs” abreviados) son literalmente “tres veintes y “cuatro veintes”.

Una de las bases más extrañas de la Antigüedad es la base 60 o sistema sexagesimal. Lo empleaban los sumerios en Mesopotamia, aunque sus orígenes se remontan al cuarto milenio a.C. Su legado lo podemos observar hoy en día en cómo todos nosotros representamos el tiempo en horas, minutos y segundos, o en los grados del círculo (y la subdivisión de los grados en minutos y segundos).

La razón de que los sumerios escogieran una base tan grande no está clara. Algunas especulaciones apuntan a las especiales propiedades matemáticas que posee el número 60: es el primer número divisible por 1, 2, 3, 4, 5, 6. Otras hipótesis pretenden relacionar el 60 con conceptos como el número de meses en un año o los días en un año (redondeado hasta 360), combinados de alguna forma con el número 5 o 6.

En el libro del año 2000, The Universal History of Numbers, del profesor de matemáticas y escritor Georges Ifrah, se argumentaba que el número 60 podría haber sido consecuencia de la mezcla de dos poblaciones inmigrantes. Una que usaba la base 5 y otra que usaba la base 12. La 5 tuvo su origen en el número de dedos de una mano. La base 12 (con muchos ejemplos actuales, como el sistema de pesos y medidas británico), pudo haber tenido sus orígenes en el número de articulaciones en los cuatro dedos (excluyendo el pulgar, que se usa para contar).


Aunque la base más extravagante de todas, sin embargo, la hallamos en una obra de ficción. En Las aventuras de Alicia en el País de las Maravillas, Alicia dice lo siguiente para asegurarse de que entiende todo lo extraño que sucede a su alrededor:




Intentaré, si sé, todas las cosas que solía saber. Veamos: cuatro por cinco son doce, y cuatro por seis son 13, y cuatro por siete son, ¡cielos!, jamás llegaré a veinte si sigo así.


En sus anotaciones al libro de Carroll, Alicia Anotada, del matemático Martin Gardner, ofrece una buena explicación para la extraña tabla de multiplicar de Alicia. Nos propone que Alicia simplemente usa bases diferentes a 10. Por ejemplo, si usamos la base 18, entonces, 4 × 5 = 20 es evidente que será 12 porque 20 es 1 unidad de 18, y 2 unidades de 1.

La hipótesis podría ser ciertamente muy endeble, si no fuera porque Lewis Carroll era un seudónimo de Charles Dodgson, profesor de matemáticas en Oxford.

Vía | La proporción áurea, de Mario Livio



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#19 Invitado_Minoldo_*

Invitado_Minoldo_*
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Publicado el 02 abril 2011 - 01:47

Los saludo con afecto.

Me parece interesante vuestro sitio.

Leí cosas agradables y me llevo otras para leerlas más tarde. Luego regresaré para comentarlas.

¡Felicitaciones!




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